출처:http://www.nzmosa.org/blog/5-6-2016-2016-nzmo-problems

90분동안 3문제.

수열 $\{a_i\}$가 아래와 같이 정의되어 있다. \begin{align*}a_1&=2, \quad a_2=7,\\a_{n+1}&=\left( \frac{a_{n}^2}{a_{n-1}}\text{를 반올림하여 얻은 정수}\right)\end{align*}예를 들어 $a_3$은 $49/2=24.5$를 반올림하여 얻은 $25$이다. 이때 모든 $i\ge 2$에 대해여 $a_i$는 항상 홀수임을 보여라.

음 아닌 실수 $x$, $y$, $z$가 $x+y+z=1$일 때 \[ x^2y+y^2z+z^2x\le \frac{4}{27}\]이 성립함을 보여라.

변 $AB$와 $BC$의 길이가 다른 삼각형 $ABC$의 외심을 $O$, 내심을 $I$라 하자. 점 $A$에서 변 $BC$로 내린 수선의 발을 $D$라 하자. 만일 $D$, $I$, $O$가 한 직선 위에 있다면 삼각형 $ABC$의 외접원의 반지름이 꼭지점 $A$ 맞은 편에 있는 방접원의 반지름과 같음을 보여라.