2013년 북한팀 TST 문제입니다.
문제출처
loading...
이등변삼각형이 아닌 삼각형 $ABC$의 중심이 $I$인 내접원이 변 $BC$, $CA$, $AB$와 만나는 점을 각각 $A_1$, $B_1$, $C_1$이라 하자. 직선 $AI$가 삼각형 $ABC$의 외접원과 점 $A_2$에서 ㅁ만난다. 직선 $B_1C_1$이 직선 $BC$와 점 $A_3$에서 만나고 직선 $A_2A_3$가 삼각형 $ABC$의 외접원과 점 $A_4$($\neq A_2$)에서 만난다. 마찬가지로 $B_4$와 $C_4$를 정의하자. 이때 세 직선 $AA_4$, $BB_4$, $CC_4$는 한 점에서 만난다는 것을 증명하라.
수열 $a_1,a_2,\ldots,a_k$가 모든 $i=1,2,\ldots,k$에 대해 $a_i\in \{0,1,2,3\}$을 만족한다. 어떤 $4^k-1$보다 작은 음 아닌 정수 $z$의 4진법 표기를 $z=(x_k,x_{k-1},\ldots,x_1)_4$라고 할 때, \[ p(z)=\sum_{i=1}^k a_i x_i 4^{k-1}\]이라 하자. 집합 $A$를 \[A=\{z \colon p(z)=z, z=0,1,2,\ldots,4^i-1\} \]이라고 정의하자. 이때 $\lvert A\rvert$는 $2$의 지수꼴 형태로 표현된다는 것을 증명하라.
아래 조건을 만족하는 정수 $a$, $b$와 음 아닌 정수 $c$를 모두 찾으시오.
모든 양의 정수 $n$에 대해 $b^n+c$는 $a^n+2^n$의 배수이며 $2ab$는 완전제곱수가 아니다.
가로로 3칸, 세로로 3칸인 표에 $1$부터 $9$까지 양의 정수가 하나씩 들어있다. 이 표에 대해 다음과 같은 작업을 할 수 있다고 하자. 임의의 열이나 행을 하나 골랐을 때 거기 나오는 수가 $a$, $b$, $c$이면 적당한 $x$를 골라서 세 음 아닌 정수 $a-x$, $b-x$, $c+x$로 바꾸거나 세 음 아닌 정수 $a+x$, $b-x$, $c-x$로 바꾼다.
(1) 표(a)에서 표(b)로 위의 작업을 통해 바꿀 수 있는가?
(a)
| 1 | 2 | 3 |
| 4 | 5 | 6 |
| 7 | 8 | 9 |
(b)
| 2 | 8 | 5 |
| 9 | 3 | 4 |
| 6 | 7 | 1 |
(2) 작업을 여러 번 시행해 $9$칸의 모든 수가 같아지게 할 수 있다고 할 때 가능한 수의 최대값은 얼마인가?
사각형 $ABCD$의 내접원 $\omega$가 변 $AB$, $BC$, $CD$ ,$DA$와 만나는 점을 각각 $E$, $F$, $G$, $H$라 하자. 원 $\omega$ 위의 호 $AC$ 위의 어떤 점 $X$에 대해 선분 $XB$와 $XD$가 $\omega$와 만나는 점을 각각 $I$, $J$라 하자. 이때 직선 $FJ$, $IG$, $AC$는 한 점에서 만난다는 것을 증명하라.
임의의 양의 정수 $a$에 대해 방정식 $x^3+x+a^2=y^2$을 만족하는 양의 정수의 순서쌍 $(x,y)$이 적어도 하나는 존재함을 보여라.