(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다.)
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한 변의 길이가 1인 정사각형의 각 변 위에 꼭지점을 하나씩 잡아 새로운 사각형을 만들었다. 이 사각형의 네 변의 길이 $a$, $b$, $c$, $d$가 다음 부등식을 만족함을 보여라. \[ 2 \leq a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \leq 4 \]
양의 정수들을 $3 \times 3$ 으로 배열하는데 각 행의 수의 합, 각 열의 수의 합, 두 주대각선의 수의 합이 모두 $m$으로 같도록 만든 것을 합방진이라 하자. $m$이 3의 배수임을 보이고, 이 배열의 수들 중 가장 큰 수는 최대 $\frac{2m}3-1$ 임을 보여라.
$a_1 = 1$, $a_{2n} = a_n$, $a_{2n+1} = a_{2n}+1$ $(n \geq 1)$ 의 점화식으로 주어진 수열 $a_1, a_2, \dotsc$ 이 있다. $a_1, a_2, \dotsc, a_{1989}$ 중에서 가장 큰 항의 값을 구하고, 그 값이 여기에 몇 번이나 나타나는지 구하여라.
$n^2$을 십진법으로 썼더니 0이 아닌 어떤 숫자가 자리수에 $m$번 연속되어 나타나는 것으로 끝났다. $m$의 최대값은 얼마인가?
어떤 $n$자리의 양의 정수는 자리수의 순서를 순환적으로 바꾸었을 때 나타나는 수들이 모두 1989의 배수가 된다고 한다. 이런 $n$의 최소값은 얼마인가? 또, 이런 자연수 중에서 최소인 것은 무엇인가? [3701의 자리수를 순환적으로 바꾸면 7013, 137, 1370을 얻는다.]
직선 $\ell$과 점 $A$, 그리고 실수 $k(\gt 0)$ 가 주어져 있다. $P$는 $\ell$ 위를 움직이는 점이고, $Q$는 $\overrightarrow{AP}$ 위의 $AP \cdot AQ = k^2$ 을 만족하는 점이다. $Q$의 자취를 구하여라.
$n$명의 사람들이 꼭 한 가지씩의 정보를 알고 있고, 모든 정보는 서로 다르다. 사람 A가 사람 B에게 전화할 때마다, A는 B에게 그가 알고 있는 모든 것을 말하고, B는 A에게 아무 것도 말하지 않는다고 하자. 모든 사람이 모든 정보를 알게 되기 위해 필요한 최소한의 전화걸기 횟수는 몇 번인가? 당신이 구한 답이 최소임을 증명하여라.
삼각형 $ABC$의 내부의 점 $P$에서 이 삼각형의 세 변에 이르는 거리의 곱은 이 삼각형의 각 변의 길이의 $\frac1{2\sqrt2}$들의 곱을 넘지 않음을 보여라. 또, 등호가 성립할 조건은 정삼각형일 때임을 밝혀라.
$\sqrt[3]{n + \sqrt{n^2+1}} + \sqrt[3]{n – \sqrt{n^2+1}}$ 이 양의 정수인 것과 적당한 양의 정수 $m$에 대해 $n = \frac12m(m^2+3)$꼴인 것이 동치임을 보여라.
(1) $\binom{2n}n = \frac{(2n)!}{n!\,n!}$ 은 $2^{2n}$보다 작고 $n < p < 2n$ 인 모든 소수 $p$를 소인수로 가짐을 보여라. (2) $x$ 이하의 소수의 개수를 $\pi(x)$로 나타내자. $n > 2$ 이면 $\pi(2n) < \pi(n) + \dfrac{2n}{\log_2 n}$ 임과 $\pi(2^n) < \dfrac{2^{n+1}}n \log_2(n-1)$ 임을 보여라. 이로부터 다시 $x \geq 8$ 일 때 $\pi(x) < \dfrac{4x}{\log_2 x} \log_2 \log_2 x$ 임을 보여라.