1990 아일랜드 수학올림피아드

(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다.)

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좌표평면의 축과 평행한 변을 갖고 네 꼭지점의 좌표가 모두 $0 \leq a,b \leq n$ 의 범위에서 $(a,b)$꼴인 직사각형의 개수를 구하여라.

수열 $a_1, a_2, a_3, \dotsc$ 은 $a_1 = 2$, 그리고 $n \geq 2$ 일 때 $a_n$은 $a_1a_2 \cdots a_{n-1} + 1$ 의 가장 큰 소인수로 정의된다. 이 수열에 5가 나타나지 않음을 보여라.

$\mathbb N$은 양의 정수들의 집합이다. 임의의 $n > 1$ 에 대해 $f(n) = f(f(n-1)) + f(f(n+1))$ 을 만족하는 함수 $f : {\mathbb N} \to {\mathbb N}$ 이 존재하는가?

다음을 만족하는 실수 $x$가 존재하는 가장 큰 자연수 $n$을 구하여라:\begin{gather*} 2^1 < x^1 + x^2 < 2^2 \\ 2^2 < x^2 + x^3 < 2^3 \\ \vdots \\ 2^n < x^n + x^{n+1} < 2^{n+1} \end{gather*}

$\angle A$가 직각인 삼각형 $ABC$가 있다. $A$에서 대변에 내린 수선의 발을 $X$라 하고, $B$에 대한 $A$의 대칭점을 $D$라 하자. $Y$가 $XC$의 중점일 때, $DX$와 $AY$가 수직임을 보여라.

$\pm1$만으로 이루어진 수열 $a_1, \ldots, a_n$이 $a_1a_2 + a_2a_3 + \cdots + a_{n-1}a_n + a_na_1 = 0$ 을 만족한다. $n$이 4의 배수임을 증명하여라.

다음을 증명하여라: $ \frac1{3^3} + \frac1{4^3} + \cdots + \frac1{n^3} < \frac1{12} $

15개의 소수가 등차수열을 이루면 그 공차는 최초의 6개의 소수(2, 3, $\ldots$)의 곱의 배수임을 보여라.

$a_n = 2 \cos \dfrac t{2^n} – 1$ 이라 할 때 곱 $a_1a_2 \cdots a_n$을 간단한 식으로 나타내어라. 그리고 이 곱이 $\dfrac{2 \cos t + 1}3$ 으로 수렴함을 보여라.

0과 1만으로 이루어진 $2k-1$개의 항으로 된 모든 수열들의 집합을 $T$라 하자.
$S$는 $T$의 부분집합이고 $2^k$개의 원소를 갖는다. 그리고, 임의의 $x \in T$ 에 대해 $x$와 최대 3개의 항을 제외하고 나머지 항은 모두 같은 $S$의 원소가 유일하게 존재한다. $k > 5$ 라면, $k = 12$ 임을 보여라.

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