(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다.)

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세 점 $X$, $Y$, $Z$가 주어져 있다. $X$를 외심으로 하고, $BC$의 중점이 $Y$이고, $BZ$가 한 수선이 되는 삼각형 $ABC$를 작도하는 방법을 찾아라.

임의의 실수 $x$에 대해 $p(x^2) = p(x)^2$ 을 만족하는 다항식 $p(x)$를 모두 구하여라.

$f$는 10배를 하는 조작, $g$는 10배를 한 후 4를 더하는 조작, 그리고 $h$는 짝수일 때 2로 나누는 조작이라고 하자. 4에서 시작하여 이런 세 가지 조작을 잘 골라 유한번 시행하면 어떤 자연수든 만들어낼 수 있음을 보여라.

8명의 사람이 다음과 같은 규칙으로 매일 회의를 갖기로 했다: 각 회의마다 최소한 한 사람은 참석해야 한다. 서로 다른 어떤 두 날에도 참석하는 사람들의 집합이 달라야 한다. $N$번째 날에는, 각각의 $1 \leq k < N$ 에 대해, $k$번째 날에 참석했던 사람들 중 적어도 한 사람이 참석해야 한다. 회의는 최장 며칠 동안 가질 수 있는가?

계수가 모두 $\pm1$이고 모든 근이 실수인 다항식을 모두 구하여라.

$m=3, 4, 5$ 혹은 6일 때, 연속한 $m$개의 완전제곱수의 합은 완전제곱수가 될 수 없음을 보여라. $m=11$ 일 때는 연속한 11개의 완전제곱수의 합이 완전제곱수가 되는 예를 찾아라.

$n = 1, 2, 3, \dotsc$ 에 대해 $a_n = \dfrac{n^2+1}{\sqrt{n^4+4}}$ 이고, $b_n = a_1a_2 \cdots a_n$ 이다. $b_n = \dfrac{\sqrt{2(n^2+1)}}{\sqrt{n^2+2n+2}}$ 임을 보이고, 이로부터 $\dfrac1{(n+1)^3} < \dfrac{b_n}{\sqrt2} - \dfrac n{n+1} < \dfrac1{n^3}$ 임을 보여라.

삼각형 $ABC$의 점 $C$를 지나고 $AB$에 평행한 직선을 $\ell$이라 하자. $\angle A$의 이등분선이 $BC$와 점 $D$에서 만나고 $\ell$과 점 $E$에서 만난다. $\angle B$의 이등분선이 $AC$와 점 $F$에서 만나고 $\ell$과 점 $G$에서 만난다. $DE = FG$ 일 때 $CA = CB$ 임을 보여라.

$P$는 양의 유리수 전체의 집합이다. 임의의 $x \in P$ 에 대하여 다음을 만족하는 함수 $f : P \to P$ 를 모두 구하여라: $f(x) + f(\frac1x) = 1$ 이고 $f(2x) = 2f(f(x))$.

$S$는 유리수 집합의 부분집합으로 다음을 만족한다:
(1) $0 \notin S$.
(2) $a, b \in S$ 이면 $\dfrac ab \in S$.
(3) 0이 아닌 어떤 $q \notin S$ 가 있어, 0이 아닌 임의의 $s \notin S$ 에 대해 $\dfrac sq \in S$ 이다.
$S$의 모든 원소는 $S$의 어떤 두 원소의 합임을 보여라.

(1991 한국수학올림피아드 2번과 동일)