(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다.)
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$|t| \leq 1$ 인 모든 실수 $t$에 대해 $t^2 + yt + x \geq 0$ 이 성립한다고 한다.
이것을 만족하는 점 $(x,y)$들의 집합을 그래프로 나타내어라.
다음 연립방정식의 근 $(x,y,z)$는 모두 몇 개인가? \[ x^2 + y^2 + z^2 = 9, \qquad x^4 + y^4 + z^4 = 33, \qquad xyz = -4 \]
$A$는 $n$개의 원소를 갖는 집합이다. $\varnothing \neq B \subset C \subset A$ 를 만족하는 $(B,C)$는 모두 몇 가지인가?
$ABC$는 반지름 $R$인 원에 내접하는 삼각형이다. $A’$, $B’$, $C’$은 각각 변 $BC$, $CA$, $AB$ 위의 점이고, $AA’$, $BB’$, $CC’$은 한 점에서 만난다. 다음을 증명하여라.\[ \frac{AB’ \cdot BC’ \cdot CA’}{\triangle A’B’C’\text{의 넓이}} = 2R\]
유리수 좌표의 두 꼭지점을 갖는 삼각형이 있다. 이 삼각형의 나머지 한 꼭지점도 유리수 좌표일 동치 조건은 이 삼각형의 각 내각의 tangent값이 유리수이거나 직각일 때임을 증명하여라.
$n$ ($>2$)보다 작은 양의 정수들 중에서 $n$과 서로 소인 수들을 세제곱하여 모두 합하면 $n$의 배수가 됨을 보여라.
어떤 양의 정수의 자리수근이란 각 자리의 수들을 모두 곱하는 것을 계속 반복하여 얻은 한 자리의 수를 말한다. 예를 들어 $24378 \to 1344 \to 48 \to 32 \to 6$ 이므로 24378의 자리수근은 6이다. 자리수근이 1인 수는 모든 자리수가 1인 수뿐임을 보여라.
$az^3 + bz^2 + cz + d = 0$ 의 세 근은 모두 실수부가 음수라고 한다. $ab > 0$ 이고 $bc > ad > 0$ 임을 보여라.
어떤 볼록오각형의 각각의 대각선이 이 오각형을 한 사각형과 단위 넓이의 한 삼각형으로 나눈다.
이 오각형의 넓이를 구하여라.
$a_1, \ldots, a_n$; $b_1, \ldots, b_n$ 이 모두 양의 실수일 때 다음을 증명하여라.\[ (a_1a_2 \cdots a_n)^{\frac1n} + (b_1b_2 \cdots b_n)^{\frac1n} \leq ((a_1+b_1)(a_2+b_2) \cdots (a_n+b_n))^{\frac1n}\] 또, 등호가 성립할 조건은 $\frac{a_1}{b_2} = \frac{a_2}{b_2} = \cdots = \frac{a_n}{b_n}$ 임을 보여라.