1994 아일랜드 수학올림피아드

(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다.)

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$x$, $y$는 양의 정수이고 $y>3$ 이다.\[ x^2 + y^4 = 2[(x-6)^2 + (y+1)^2] \]일 때, $x^2 + y^4 = 1994$임을 증명하여라.

한 직선 위에 세 점 $A$, $B$, $C$가 이 순서대로 놓여있다. 세 정삼각형 $ABD$, $BCE$, $CAF$를 그리는데, 직선 $AC$에 대해 $D$와 $E$는 같은 쪽에 있고 $F$는 반대쪽에 있도록 한다. 이 정삼각형들의 무게중심을 세 꼭지점으로 하는 삼각형은 정삼각형임을 증명하여라. 또, 이 새로운 정삼각형의 무게중심은 직선 $AC$ 위에 놓임을 증명하여라.

다음 식을 항상 만족하는 모든 실계수 다항식 $f(x)$를 구하고, 그것을 증명하여라.\[ f(x^2) = f(x)f(x-1)\]

모든 항이 0 또는 1인 $m \times n$ 크기의 행렬들의 집합을 생각하자. 이런 행렬들 중에서 각각의 행과 열에 속한 1의 개수가 모두 짝수인 행렬의 개수를 구하여라.

양의 정수들의 집합에서 다음과 같은 규칙으로 정의된 함수 $f(n)$이 있다.\[ f(1)=2, \qquad f(n+1) = (f(n))^2 – f(n) + 1 \quad (n=1,2,3,\ldots)\] 모든 정수 $n>1$ 에 대해 다음을 증명하여라.\[ 1 – \frac1{2^{2^{n-1}}} < \frac1{f(1)} + \frac1{f(2)} + \cdots + \frac1{f(n)} < 1 - \frac1{2^{2^n}}\]

다음의 규칙으로 정의된 수열 $\{x_n\}$이 있다.\[ x_1=2, \qquad nx_n = 2(2n-1)x_{n-1} \quad (n=2,3,\ldots) \] 모든 양의 정수 $n$에 대해 $x_n$은 정수임을 증명하여라.

$p$, $q$, $r$은 다음을 만족하는 서로 다른 세 실수이다. \begin{align*} q &= p(4-p) \\ r &= q(4-q) \\ p &= r(4-r) \end{align*} $p+q+r$ 의 가능한 값을 모두 찾아라.

모든 정수 $n>1$ 에 대해 다음을 증명하여라.\[ n((n+1)^{2/n} – 1) < \sum_{i=1}^n \frac{2i+1}{i^2} < n(1 - n^{-2/(n-1)}) + 4\]

$w$, $a$, $b$, $c$는 서로 다른 실수들이고, 다음 연립방정식을 만족하는 실수 $x$, $y$, $z$가 존재한다. \begin{align*} x + y + z &= 1 \\ xa^2 + yb^2 + zc^2 &= w^2 \\ xa^3 + yb^3 + zc^3 &= w^3 \\ xa^4 + yb^4 + zc^4 &= w^4 \end{align*} $w$를 $a$, $b$, $c$에 대한 식으로 나타내어라.

한 정사각형을 $n$개의 볼록다각형으로 분할하였을 때, 그 결과도에 나타나는 변의 최대 개수를 구하여라.

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