(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다.)

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다음 방정식을 만족하는 모든 정수쌍 $(x,y)$를 찾고 그것을 증명하여라.\[ 1+1996x+1998y = xy\]

$\triangle ABC$는 정삼각형이다. $\triangle ABC$ 내부의 한 점 $M$에서 $BC$, $CA$, $AB$에 내린 수선의 발을 각각 $D$, $E$, $F$라 하자. $\angle FDE$가 직각이 되는 모든 $M$을 구하여라.

모든 $x$에 대해서 다음 식을 만족하는 모든 다항식 $P(x)$를 구하여라. \[ (x-16)P(2x) = 16(x-1)P(x)\]

$a$, $b$, $c$를 음이 아닌 실수라 하자.
이 때 $a+b+c \geq abc$ 이면 $a^2+b^2+c^2 \geq abc$ 임을 증명하여라.

1보다 큰 모든 홀수의 집합을 $S$라 하자. 각각의 $x \in S$ 에 대해 부등식 $2^{\delta(x)} < x < 2^{\delta(x)+1}$ 을 만족하는 유일한 정수를 $\delta(x)$라 한다. 임의의 $a,b \in S$ 에 대해 \[ a \ast b = 2^{\delta(a)-1}(b-3)+a\]라고 정의한다. [예를 들어, $5\ast 7$을 계산해보자. $2^2 < 5 < 2^3$ 이므로 $\delta(5)=2$ 이다. 따라서, $5\ast 7 = 2^{2-1}(7-3)+5 = 13 $ 이다. 또 $2^2 < 7 < 2^3$ 이므로 $\delta(7)=2$ 가 되고 $7\ast 5 = 2^{2-1}(5-3)+7 = 11$ 이다.] $a,b,c\in S$ 일 때 다음을 증명하라. (1) $a\ast b \in S$ (2) $(a\ast b)\ast c = a\ast(b\ast c)$

주어진 자연수 $n$에 대해 $\sigma(n)$을 $n$의 약수의 합이라 하자. (예: $\sigma(3) = 1+3 = 4$, $\sigma(6) = 1+2+3+6 = 12$, $\sigma(12) = 1+2+3+4+6+12 = 28$) 이 때 $\sigma(n) > 2n$ 이면 $n$을 초과수라 부르자. (따라서, 예를 들어, 12는 초과수이다.) $a$, $b$가 자연수이고 $a$가 초과수이면 $ab$도 초과수임을 보여라.

사각형 $ABCD$는 원 $T$에 외접하고 있다. $\angle A = \angle B = 120^{\circ}$, $\angle D = 90^{\circ}$, $BC=1$ 일 때 $AD$의 길이를 구하여라.

집합 $A$는 $n(A) \geq 1000$, $A \subset \{0, 1, 2, 3, \dotsc, 1997\}$ 을 만족한다. $A$의 원소 중에 $2^k$ ($k\geq 0$ 인 정수) 꼴이 있거나 아니면 $a+b$ 가 $2^k$ ($k\geq 0$ 인 정수) 꼴이 되는 $A$의 서로 다른 두 원소 $a$, $b$가 존재함을 보여라.

$S$는 다음을 만족하는 모든 자연수 $n$의 집합이다.
(i) $n$은 1000자리수이다.
(ii) $n$의 모든 자리수는 홀수이다.
(iii) $n$의 이웃하는 자리수의 차는 항상 2이다.
$S$의 원소의 개수를 구하라.

$p$는 3 이상의 소수, $n$은 자연수, $T=\{1, 2, 3, \ldots, n\}$ 이라 하자. 만약, 다음을 만족하는 $T$의 공집합이 아닌 부분집합 $T_1, T_2, \dotsc, T_p$ 들이 존재할 때, $n$을 $p$-분할가능하다고 하자.
(i) $T = T_1\cup T_2 \cup \cdots \cup T_p$
(ii) 임의의 서로 다른 $i$, $j$ ($1 \leq i, j \leq p$) 에 대해 $T_i \cap T_j = \emptyset$
(iii) $T_i$의 원소들의 합은 $i$에 상관없이 모두 같다($i=1, 2, \ldots, p)$.
[예를 들어 5는 3-분할가능하다. $T_1 = \{1, 4\}$, $T_2 = \{2, 3\}$, $T_3 = \{5\}$ 로 잡아주면 조건을 만족한다.]
이 때 다음을 증명하여라.
(1) $n$이 $p$-분할가능하면 $p$는 $n$ 또는 $n+1$을 나눈다.
(2) $n$이 $2p$의 배수이면 $n$은 $p$-분할가능하다.