(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다.)
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0이 아닌 임의의 실수 $x$에 대해 $x^8 – x^5 – \dfrac1x + \dfrac1{x^4} \geq 0$ 임을 증명하여라.
정삼각형 내부의 한 점 $P$로부터 세 꼭지점에 이르는 거리가 각각 3, 4, 5라고 한다. 이 정삼각형의 넓이를 구하여라.
십진법에서 $\overline{xyxy}$꼴의 수는 완전세제곱수가 될 수 없음을 보여라. 한편, $b$진법에서 $\overline{xyxy}$꼴의 수가 완전세제곱수가 되는 경우가 있는 가장 작은 $b>1$ 를 구하여라.
반지름 2인 원판을 반지름 1인 원판 7개로 완전히 덮을 수 있음을 보여라 (포개는 것도 허용됨).
$n$은 3 이상의 정수이다. $x^2 – x$ 와 $x^n – x$ 가 둘다 정수가 되는 실수 $x$는 정수뿐임을 증명하여라.
정확히 16개의 약수 $1 = d_1 < d_2 < \cdots < d_{15} < d_{16} = n$ 을 갖고, $d_6 = 18$, $d_9 - d_8 = 17$ 인 자연수 $n$을 모두 구하여라.
양의 실수 $a$, $b$, $c$에 대해 다음을 증명하여라.\[ \frac9{a+b+c} \leq 2 \left(\frac1{a+b} + \frac1{b+c} + \frac1{c+a}\right) \leq \frac1a + \frac1b + \frac1c\]
(1) 차가 2이거나 5인 두 자연수는 항상 서로 다른 집합에 속하도록, 자연수 전체를 세 부분집합으로 분할할 수 있음을 증명하여라.
(2) 차가 2, 3, 또는 5인 두 자연수는 항상 서로 다른 집합에 속하도록, 자연수 전체를 네 부분집합으로 분할할 수 있음을 증명하여라. 한편, 세 부분집합으로 분할하는 것은 곤란함을 보여라.
$x_0$, $x_1$은 임의로 주어진 양의 실수이고, $n \geq 0$ 에 대해 $x_{n+2} = \dfrac{1+x_{n+1}}{x_n}$ 으로 정의되는 수열 $(x_n)$이 있다. $x_{1998}$을 구하여라.
삼각형 $ABC$의 각 변의 길이는 정수이고, $\angle A = 2 \angle B$, $\angle C > 90^\circ$ 이다. 이 삼각형의 둘레의 길이의 최소값을 구하여라.