(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다.)
loading...
다음 부등식을 만족하는 실수 $x$를 모두 구하여라.\[ \frac{x^2}{(x+1 – \sqrt{x+1}\,)^2} < \frac{x^2+3x+18}{(x+1)^2}\]
피보나치 수열에는 1000의 배수가 있음을 보여라.
삼각형 $ABC$에서 $AD$를 수선, $BE$를 각의 이등분선, $CF$를 중선이라고 하자.
$AD$, $BE$, $CF$가 한 점에서 만날 때, 또 그 때만 다음 식이 성립함을 증명하여라.\[ a^2(a-c) = (b^2-c^2)(a+c)\] 단, $a$, $b$, $c$는 각각 변 $BC$, $CA$, $AB$의 길이이다.
10000개의 칸으로 이루어진 $100 \times 100$ 크기의 마루바닥을 $1 \times 3$ 크기의 타일로 깔려고 한다.
(1) 이 마루바닥의 중앙에 $2 \times 2$ 크기의 타일을 하나 깔면 나머지 바닥을 $1 \times 3$ 타일들로 잘 깔 수 있음을 증명하여라.
(2) 마루바닥의 한 코너에 $2 \times 2$ 크기의 타일을 하나 깔면 나머지 바닥을 잘 깔 수 없음을 증명하여라.
수열 $(u_n)$은 $u_0=0$, $u_1=1$, 그리고 각각의 $n \geq 1$ 에 대해 $u_{n+1}$은 다음을 만족하는, $u_n$보다 큰 최소의 정수로 정의된다: $\{u_0, u_1, \dots, u_{n+1}\}$ 의 어떤 세 항도 등차수열을 이루지 않는다. $u_{100}$을 구하여라.
다음 연립방정식을 풀어라.\begin{gather*} y^2 = (x+8)(x^2+2) \\ y^2 – (8+4x)y + (16 + 16x – 5x^2) = 0 \end{gather*}
함수 $f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ 이 다음을 만족한다.
(i) $a$와 $b$가 서로 소이면 $f(ab) = f(a)f(b)$.
(ii) $p$와 $q$가 소수이면 $f(p+q) = f(p) + f(q)$.
$f(2)=2$, $f(3)=3$, $f(1999)=1999$ 임을 증명하여라.
합이 1인 네 양의 실수 $a$, $b$, $c$, $d$에 대해 다음을 증명하여라.\[ \frac{a^2}{a+b} + \frac{b^2}{b+c} + \frac{c^2}{c+d} + \frac{d^2}{d+a} \geq \frac12\] 그리고, 등호가 성립할 조건은 $a=b=c=d=\frac14$ 일 때임을 보여라.
양의 약수의 개수의 네제곱이 자기 자신이 되는 모든 자연수를 구하여라.
$AB=BC$, $CD=DE$, $EF=FA$ 이고 $\angle ABC + \angle CDE + \angle EFA = 360^\circ$ 인 볼록육각형 $ABCDEF$가 있다. $A$, $C$, $E$에서 각각 $FB$, $BD$, $DF$에 그은 세 수선이 한 점에서 만남을 증명하여라.