(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다.)

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다음을 만족하는 모든 자연수해 $(a,b,c,n)$을 찾아라.\[ 2^n = a! + b! + c!\]

삼각형 $ABC$의 세 변의 길이를 $BC=a$, $CA=b$, $AB=c$ 라 하고, $D$와 $E$를 변 $AC$와 $AB$의 중점이라 하자. 두 중선 $BD$와 $CE$가 직교할 때, 또 그 때만 $b^2 + c^2 = 5a^2$ 임을 증명하여라.

홀수인 소수 $p$가 적당한 정수 $x$, $y$에 대해 $x^5-y^5$꼴로 나타내어질 때, 적당한 홀수 $v$에 대해 다음이 성립함을 증명하여라.\[ \sqrt{\frac{4p+1}5} = \frac{v^2+1}2\]

모든 자연수 $n$에 대해 다음을 증명하여라.\[ \frac{2n}{3n+1} \leq \sum_{k=n+1}^{2n} \frac1k \leq \frac{3n+1}{4(n+1)}\]

$ab>0$ 인 모든 실수 $a$, $b$에 대해 다음을 증명하고 등호조건을 구하여라.\[ \sqrt[3]{\frac{a^2 b^2 (a+b)^2}4} \leq \frac{a^2 + 10ab + b^2}{12}\] 이를 이용하여, 혹은 다른 방법으로, 모든 실수 $a$, $b$에 대해 다음을 증명하고 등호조건을 구하여라.\[ \sqrt[3]{\frac{a^2 b^2 (a+b)^2}4} \leq \frac{a^2 + ab + b^2}3\]

적당한 홀수 $n$에 대해 $55^n + a \cdot 32^n$ 이 2001의 배수가 되게 할 수 있는 최소의 자연수 $a$를 찾아라.

세 개의 후프가 동심원꼴로 놓여 있고, 각각의 후프에는 20개씩의 구슬이 꿰어져있는데, 각각 10개는 검은색이고 10개는 흰색이다. 원의 중심으로부터 균일하게 뻗어나가는 20개의 사선을 그려 그 사선에 각각 1부터 20까지의 번호를 붙이고, 모든 구슬이 이 사선 위에 있도록 하자. 위치 $i$의 세 구슬이 모두 같은 색이면 위치 $i$가 잘 맞았다고 말한다. 구슬의 색깔 배치가 어떻게 되어있어도, 후프를 적당히 잘 돌리면 잘 맞은 위치가 5곳 이상 되도록 할 수 있음을 보여라.

예각삼각형 $ABC$에서 $P$를 수선 $AD$ 위의 한 점이라 하자. 직선 $BP$와 $CP$가 변 $AC$, $AB$와 각각 점 $E$와 $F$에서 만난다. $AD$가 각 $EDF$를 이등분함을 증명하여라.

다음 식의 값이 정수가 되도록 하는 음 아닌 실수 $x$를 모두 구하여라.\[ \sqrt[3]{13 + \sqrt x} + \sqrt[3]{13 – \sqrt x}\]

모든 자연수 $x$, $y$에 대해 다음을 만족하는 함수 $f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ 을 모두 구하여라.\[ f(x + f(y)) = f(x) + y\]