(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다.)
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$(m^2+n)(m+n^2) = (m+n)^3$ 을 만족하는 모든 정수해 $(m,n)$을 구하여라.
$QB$는 $PA$를 지름으로 하는 원의 $PA$와 평행한 현이다. 두 직선 $PB$와 $QA$가 점 $R$에서 만난다. 이 원의 중심을 $O$라 하고, $PORS$가 평행사변형이 되도록 점 $S$를 잡자. 그럼 $SP = SQ$가 됨을 보여라.
$([\sqrt1\,]-[\sqrt[3]1\,]) + ([\sqrt2\,]-[\sqrt[3]2\,]) + \cdots + ([\sqrt{2003}\,]-[\sqrt[3]{2003}\,])$의 값을 구하여라. 단, $[x]$는 $x$를 넘지 않는 최대의 정수를 나타낸다.
8명의 선수가 참가하는 체스 토너먼트가 있다. 어떤 두 선수도 서로 많아야 한 번 경기하고, 어떤 다섯 선수도 서로 모두 경기를 하지는 않는다. 이 토너먼트는 최대 24경기로 이루어져 있음을 보여라.
$R$을 실수 전체의 집합, $R^+$를 양의 실수 전체의 집합이라 하자. $y>x$ 인 임의의 양의 실수 $x,y$에 대해 $f(y) > (y-x) f(x)^2$ 을 만족시키는 함수 $f : R^+ \to R$ 은 존재하지 않음을 보여라.
둘레의 길이의 합이 2인 삼각형의 세 변의 길이를 $a$, $b$, $c$라 할 때, 다음 부등식을 증명하여라.\[ 1 \le ab + bc + ca – abc \le 1 + \frac1{27}\]
사각형 $ABCD$의 점 $D$에서 $AB$, $BC$에 내린 수선의 발을 각각 $P$, $Q$라 하고, $B$에서 $AD$, $CD$에 내린 수선의 발을 각각 $R$, $S$라 하자. $\angle PSR = \angle SPQ$ 이면 $PR = QS$ 임을 보여라.
$m^2 + 2m = n^4 + 20n^3 + 104n^2 + 40n + 2003$ 의 모든 정수해 $(m,n)$을 구하여라.
양의 실수 $a$, $b$가 주어져 있다. 임의의 양의 실수 $x$에 대해, $c$는 두 수 $ax + \dfrac1{ax}$ 와 $bx + \dfrac1{bx}$ 보다 동시에 크지는 않다고 한다. 실수 $c$의 최대값을 구하여라.
$\{1, 2, \ldots, 2003\}$에서 $N$개의 수를 고르는데, 어느 두 수도 차가 10이 되지 않도록 한다. 이렇게 수를 고르는 방법이 $N = 1003$ 일 때는 얼마나 되는지 구하고, $N = 1002$ 이면 $(3 \cdot 5151 + 7 \cdot 1700) \cdot 101^7$ 가지가 됨을 보여라.