(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다.)

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(1) 처음 $n$개의 자연수의 합이 $2n$의 배수가 되는 $n$을 모두 구하여라.
(2) 처음 $n$개의 자연수의 합이 $2n+1$의 배수가 되는 $n$을 (있다면) 모두 구하고, 증명하여라.

어떤 테니스 대회에 참가한 선수들은 다른 모든 선수와 한 번씩 경기를 갖는다. 모든 선수가 적어도 한 경기씩은 이겼다면, A가 B를 이기고, B가 C를 이기고, C가 A를 이긴 세 선수 A, B, C가 있음을 보여라.

$AB$는 반지름이 5이고 중심이 $O$인 원의 길이 6인 한 현이다. 부채꼴 $OAB$에 내접하는 정사각형 $PQRS$의 넓이를 구하여라. 단, $P$와 $S$는 각각 반지름 $OA$와 $OB$ 위의 점이고, $Q$와 $R$은 호 $AB$ 위의 점이다.

다음 방정식의 실수해 $x$는 둘뿐임을 증명하여라.\[ (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6) = 720\]

$a, b \geq 0$ 에 대해 다음을 증명하고 등호조건은 $a=b$ 임을 보여라.\[ \sqrt2 \left(\sqrt{a(a+b)^3} + b \sqrt{a^2+b^2}\,\right) \leq 3(a^2+b^2)\]

$2 \leq p, q < 100$ 의 범위에서, $p+6, p+10, q+4, q+10, p+q+1$ 이 모두 소수가 되는 소수쌍 $(p,q)$를 모두 구하여라.

$A$와 $B$는 원 $T$ 위의 서로 다른 점이다. $BC$는 $B$에서의 $T$의 접선이고 $AB=AC$ 이다. $\angle ABC$의 이등분선이 $AC$와 점 $D$에서 만난다고 하자. $D$가 $T$의 내부에 있다면, $\angle ABC > 72^\circ$ 임을 보여라.

$n$은 2 이상의 정수이다. $\sqrt[3]{n^3 + 2n^2 + n}$ 의 십진전개에서 소수점 이하 첫번째 자리의 수를 구하여라.

세 실수 $x$, $y$, $z$에 대해 $m(x,y,z) = \max(x^2,y^2,z^2)$ 이라 하자. $x+y+z=0$, $x^2+y^2+z^2=1$ 인 모든 $x$, $y$, $z$에 대해 $m$의 최소값을 구하고 그것을 증명하여라.