(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다.)
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$n=2006$ 일 때 다음 방정식의 정수해 $x$, $y$, $z$가 존재하는가?\[ z^2 = (x^2+1)(y^2-1) + n\] $n=2007$ 일 때는 어떤가?
$P$와 $Q$는 각각 이등변삼각형 $ABC$의 두 등변 $AB$와 $AC$ 위의 점으로, $AP = CQ$ 를 만족한다. $P$, $Q$는 이 삼각형의 꼭지점이 아니다. 삼각형 $APQ$의 외접원이 삼각형 $ABC$의 외심을 지남을 증명하여라.
한 변의 길이가 2.1인 정사각형을 한 변의 길이가 1인 정사각형 일곱 개로 덮을 수 있음을 증명하여라(겹치는 것도 허용됨).
$x$, $y$는 다음을 만족하는 $x \geq -2$, $y \geq -3$ 인 실수이다.\[ x – 2 \sqrt{x+2} = 2 \sqrt{y+3} – y\] $x+y$의 최대값과 최소값을 구하여라.
$f(1)=1$ 이고, 모든 실수 $x$, $y$에 대해 다음을 만족하는 함수 $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 를 모두 구하여라.\[ f(xy + f(x)) = xf(y) + f(x)\]
$m \times n$ 격자배열로 방이 배치된 건물이 있다. 각각의 방은 이웃한 방과 항상 하나의 문으로 연결되어 있다. 이 건물의 밖으로 통하는 출입문은 오직 북동쪽 코너에 있는 방에만 나있다. 이 출입문은 밖으로 나갈 때나 안으로 들어올 때나 $mn$개의 열쇠를 모두 이용해야 열리는 정밀한 자물쇠로 잠겨있는데, 각각의 열쇠는 각각의 방마다 하나씩 배치되어있다. 남서쪽 끝방에 한 사람이 있고 이웃한 방으로 이동해갈 것이다. 처음에는 모든 방과 방 사이의 문이 열려있었지만, 이 사람이 방을 떠날 때마다 그 방의 모든 문이 자동적으로 잠긴다. 이 사람이 모든 열쇠를 다 모아서 건물을 빠져나갈 수 있는 $(m,n)$쌍을 모두 구하여라.
삼각형 $ABC$의 변 $BC$ 위에 두 점 $D$, $E$가 있고 변 $AC$ 위에 두 점 $F$, $G$가, 또 변 $AB$ 위에 두 점 $H$, $K$가 있다. $D$는 $BE$ 사이에 있고, $F$는 $CG$ 사이에, $H$는 $AK$ 사이에 있다. $AH=AG=1$, $BK=BD=2$, $CE=CF=4$, $\angle B = 60^\circ$ 이고 $D$, $E$, $F$, $G$, $H$, $K$가 모두 한 원 위의 점이라고 하자. 삼각형 $ABC$의 내접원의 반지름을 구하여라.
$x+2y=1$ 인 양의 실수 $x$, $y$에 대해 다음을 증명하여라.\[ \frac1x + \frac2y \geq \frac{25}{1 + 48xy^2}\]
$n$은 자연수이다. 다음 수들의 최대공약수를 구하여라.\[ \binom{2n}1, ~ \binom{2n}3, ~ \binom{2n}5, ~ \dots, ~ \binom{2n}{2n-1}\]
두 자연수 $n$($\geq 2$)과 $k$가 주어져있다. 평면 위에 $n$개의 원이 있는데, 어떤 두 원도 항상 두 점에서 만나고 각 교점은 모두 서로 다르다. 주어진 $n$개의 색에서 골라 각 교점을 색칠한다. 사용되지 않은 색은 없어야 하고, 각각의 원에는 딱 $k$개의 색이 사용되어야 한다. 이런 색칠이 가능한 $(n,k)$쌍을 모두 구하여라.