2018년 5월 10일.

오전 5문제. 10시~1시.

오후 5문제. 2시~5시.

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다음 두 식을 만족시키는 4개의 서로 다른 소수 $p_1$, $p_2$, $p_3$, $p_4$의 곱 $p_1p_2p_3p_4$으로 가능한 값을 모두 구하여라. \begin{align*} 2p_1+3p_2+5p_3+7p_4&=162,\\ 11p_1+7p_2+5p_3+4p_4&=162\end{align*}

실수 $a$, $b$, $c$, $d$에 대하여 $a^2+b^2+c^2+d^2=1$이면 \[ a^2b^2cd+ab^2c^2d+abc^2d^2+a^2bcd^2+a^2bc^2d+ab^2cd^2\le \frac{3}{32}\]이 성립함을 보이고 등호가 성립할 조건을 구하여라.

식 $x(x+1)(x+7)(x+8)$의 값이 완전제곱수가 되는 정수 $x$를 모두 구하여라.

정수 $1$, $2$, $\ldots$, $2008$이 정확히 한 번씩 수열 $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_{2008}$에 나타나며 모든 $2\le i\le 2008$에 대하여 $i\in\{1,2,\ldots,a_i\}$이 될 수열 $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_{2008}$의 수는 몇 개인가?

각 $B$가 둔각인 둔각 삼각형 $ABC$가 있다. 변 $AB$와 수직으로 점 $B$에서 만나는 직선이 $AC$와 점 $D$에서 만나며 $CD=AB$이다. 이때 $AD^2=AB\cdot BC$일 필요충분조건이 $\angle CBD=30^\circ$임을 보여라.

세 변의 길이가 $a$, $b$, $c$인 직각 삼각형의 넓이가 $a+b+c$가 된다고 할 세 정수 $a$, $b$, $c$의 순서쌍 $(a,b,c)$를 모두 구하여라.

두 원 $S$, $T$가 두 점 $P$, $Q$에서 만나며 $S$는 $T$의 중심을 지난다. 원 $T$의 내부에 있는 $S$ 위의 서로 다른 두 점 $A$, $B$가 $T$의 중심에서 같은 거리에 위치하고 있다. 직선 $PA$가 $T$가 $P$ 아닌 점 $D$에서 만난다. 이때 $AD$의 길이는 $PB$의 길이와 같음을 보여라.

모든 $i=3,\ldots,2008$에 대하여 $a_i=\pm 1$이며 \[ \sum_{i=3}^{2008}a_i 2^i=2008\]인 $a_3$, $a_4$, $\ldots$, $a_{2008}$을 찾아라. 그리고 이러한 조건을 만족시키는 그러한 수들 $a_3$, $a_4$, $\ldots$, $a_{2008}$은 유일함을 보여라.

정수 $k\in \{0,1,2,3\}$와 양의 정수 $n$에 대하여 \[ x_1+\cdots+x_n\equiv k\pmod 4\]이면서 $i=1,\ldots,n$에 대하여 $x_i\in\{-1,0,1\}$인 수열 $x_1,x_2,\ldots,x_n$의 수를 $f_k(n)$이라 하자.

(a) 모든 양의 정수 $n$에 대하여 $f_1(n)=f_3(n)$임을 보여라.

(b) 모든 양의 정수 $n$에 대하여 \[f_0(n)=\frac{3^n+2+(-1)^n}{4}\]임을 보여라

양의 실수 $x$, $y$, $z$가 $xyz\ge 1$을 만족시킨다고 한다.

(a) $27\le (1+x+y)^2+(1+y+z)^2+(1+z+x)^2$을 증명하고 등호가 성립할 필요충분조건은 $x=y=z=1$임을 보여라.

(b) $(1+x+y)^2+(1+y+z)^2+(1+z+x)^2\le 3(x+y+z)^2$임을 증명하고 등호가 성립할 필요충분조건은 $x=y=z=1$임을 보여라.