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다음 성질을 만족하는 모든 정수 $n\ge 2$를 모두 구하시오.
$0\le i,j\le n$인 모든 정수 $i$, $j$에 대해 $i+j$와 $\binom{n}{i}+\binom{n}{j}$의 홀짝이 같다.
예각삼각형 $ABC$의 외접원을 $O$라 하자. 원호 $BAC$의 중점을 $D$라 하고, 삼각형 $ABC$의 내심을 $I$라 하자. 직선 $DI$와 $BC$가 만나는 점을 $E$라 하고, 직선 $DI$와 원 $O$가 만나는 $D$ 아닌 점을 $F$라 하자. 직선 $PE$와 $AI$가 평행하도록 점 $P$를 직선 $AF$ 위에 잡자. 이때 직선 $PE$는 각 $BPC$를 각이등분선임을 보여라.
양의 정수 $n$에 대하여 아래 3가지 조건을 만족하는 평면 위의 점들의 집합을 $S$라 하자.
i) $n$개의 직선으로는 $S$의 모든 점을 다 덮을 수 없다.
ii) $S$의 임의의 원소 $x$에 대해, $S-\{x\}$에 속한 점들은 적당한 $n$개의 직선으로 덮을 수 있다.
이때 $|S|$의 최대값을 구하여라.
평면 상에 $m+1$개의 수평선과 $n+1$개의 수직선($m,n\ge 4)$으로 만든 $m\times n$ 바둑판 형태의 그림이 주어져있다. 이 선들의 일부를 모으되, 같은 점을 2번 이상 지나지 않고, 바둑판 내부의 $(m-1)(n-1)$개 교차점들(수평선과 수직선의 교점) 모두를 지나며, 바둑판 가장자리 점은 전혀 지나지 않는 폐곡선을 생각하자. 이 폐곡선이 일직선으로 통과하는 점의 수를 $A$라 하고, 바둑판을 이루는 $m\times n$개의 사각형 중에 맞은 편에 위치한 두 변만이 이 폐곡선에 사용된 것의 수를 $B$라 하자. 바둑판을 이루는 $m\times n$개 사각형 중에 어느 변도 이 폐곡선에 쓰이지 않은 것의 수를 $C$라 하자. 이때 아래 등식을 증명하라. \[ A=B-C+m+n-1.\]
모든 음 아닌 실수 $a, b$에 대해 다음 성질들을 동시에 만족하는 함수 $f:\mathbb{R}^{\ge 0}\to \mathbb{R}^{\ge 0}$가 있다고 하자. ($\mathbb{R}^{\ge 0}$은 음 아닌 실수의 집합이다.)
a) $f(a)=0$일 필요충분조건은 $a=0$인 것이다.
b) $f(ab)=f(a)f(b)$.
c) $f(a+b)\le 2 \max (f(a), f(b))$.
이때 모든 양의 실수 $a, b$에 대하여 $f(a+b)\le f(a)+f(b)$임을 보여라.
원$O$에 내접한 오각형 $ABCDE$를 생각하자. 원 $O_a$, $O_b$, $O_c$, $O_d$, $O_e$를 각각 원 $O$를 직선 $AB$, $BC$, $CD$, $DE$, $EA$로 대칭시켜 얻은 것이라 하자. 점 $A’$은 $O_a$와 $O_e$가 두 번째로 만나는 점이라 하자. 마찬가지로 점 $B’$, $C’$, $D’$, $E’$도 정의한다. 이때 다음을 증명하라. \[ 2\le \frac{S_{A’B’C’D’E’}}{S_{ABCDE}}\le 3. \] 여기서 $S_X$는 $X$의 넓이를 뜻한다.
꼭지점 $n$개인 완전그래프의 각 선에 $\binom{n}{2}$개의 연속한 양의 정수를 잘 배치하여, 모든 선 $3$개짜리 경로나 회로에 대해, 그 선에 적힌 수가 순서대로 $a$, $b$, $c$라 하면 $b$가 $a$와 $c$의 최대공약수의 배수가 되게 할 수 있는가?
모든 계수가 양수이고 차수가 $2$차 이상인 다항식 $g(x)$가 주어져있다. 다음 조건을 만족하는 함수 $f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+$를 모두 구하여라: 모든 양의 실수 $x,y$에 대해 \[ f(f(x)+g(x)+2y)= f(x)+g(x)+2f(y).\]
평행사변형 $ABCD$에서 변 $AB$와 $AD$에 접하는 원 $O_1$과 변 $BC$와 $CD$에 접하는 원 $O_2$가 있다고 한다. 직선 $AD$와 직선 $DC$에 접하면서 원 $O_1$과 원 $O_2$에 외접하는 원이 있다고 하자. 이때 직선 $AB$, $BC$에 접하면서도 원 $O_1$과 원 $O_2$에 외접하는 원도 존재함을 보여라.
양의 실수 $a$, $b$, $c$가 $ab+bc+ca=1$을 만족한다고 한다. 이때 부등식 \[ \sqrt 3 (\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c)\le \frac{a\sqrt a}{bc}+\frac{b\sqrt b}{ca}+\frac{c\sqrt c}{ab}\]을 보여라.
중심이 $O$인 원$\omega$ 위에 $\frac\pi3<\angle AOB<\frac{2\pi}{3}$이 되게 두 점 $A$, $B$를 잡자. 삼각형 $AOB$의 외심을 $C$라 하자. 점 $C$를 지나는 직선 중에 $OC$ 사이에 각이 $\frac\pi3$이 되게 직선 $\ell$을 잡자. 직선 $\ell$이 원 $\omega$의 점$A$, 점$B$의 접선들과 각각 $M$, $N$에서 만난다고 하자. 삼각형 $CAM$과 $CBN$의 외접원이 원 $\omega$와 다시 만나는 아닌 점을 각각 $Q$, $R$이라 하자. 삼각형 $CAM$과 $CBN$의 외접원이 서로 만나는 $C$ 아닌 점을 $P$라 하자. 이때 직선 $OP$와 직선 $QR$이 서로 수직으로 만난다는 것을 보여라.
어떤 양의 정수의 집합 $B$가 적당한 정수 $i<j$에 대해 $B=\{i,i+1,i+2,\ldots,j\}$ 꼴로 나타날때 이 집합을 꽉찬 집합이라 하자. 모든 꽉찬 집합의 집합을 $Q$라 하자.
이제, $\{1,2,\ldots,n\}$의 임의의 부분집합 $A=\{a_1<a_2<\cdots<a_k\}$에 대해 \[ f(A)=\max_{1\le i\le k-1} (a_{i+1}-a_i), \qquad g(A)=\max_{B\subseteq A, B\in Q} |B|\]라 하자. 그리고 $F(n)=\sum_{A\subseteq \{1,2,\ldots,n\}} f(A)$라 하고 $G(A)=\sum_{A\subseteq \{1,2,\ldots,n\}} g(A)$라 하자. 모든 $n>m$에 대해 $F(n)>G(n)$이 성립하도록 하는 적당한 정수 $m$이 존재함을 보여라.
중심이 $O$인 정$2^k$각형의 각 변을 $\ell_1$, $\ell_2$, $\ldots$, $\ell_{2^k}$라 하자. 점 $O$를 $\ell_1$에 대해 대칭시키고, 그 점을 다시 $\ell_2$로 대칭시키고, 다시 그 점을 $\ell_3$에 대칭시키고, 이 작업을 순서대로 모든 변에 대해 다 하였다고 하자. 이때 마지막 점과 원래 점 $O$와의 거리는 정$2^k$각형의 둘레의 길이보다 작음을 보여라.
다음 성질을 만족하는 2000개의 (서로 같을수도 있는) $0$ 아닌 실수가 존재하는가?
그 실수 중 $1000$개를 아무렇게나 뽑더라도, 어떤 $x$에 관한 $1000$차 다항식이 존재하여 그 다항식의 해가 뽑았던 $1000$개 수이면서 동시에 그 다항식의 계수는 뽑지 않은 $1000$개 수가 적당한 순서로 나타난다.
다음 식을 만족하는 모든 정수 $x$, $y$를 구하여라. \[ (y^3+xy-1)(x^2+x-y)=(x^3-xy+1)(y^2+x-y).\]
홀수인 소수 $p$가 주어져있다. 어떤 정수계수 다항식 $f(x)=\sum_{j=0}^n a_j x^j$에서 $a_{p-1}+a_{2(p-1)}+a_{3(p-1)}+\cdots$를 $p$로 나누었을때 $i$가 된다면 이 다항식을 $i$남음이라 부르자. 이때 집합 $\{f(0),f(1),\ldots,f(p-1)\}$에 있는 수를 $p$로 나눈 나머지가 서로 다를 필요충분조건은 다항식 $f(x)$, $(f(x))^2$, $\ldots$, $(f(x))^{p-2}$가 $0$남음이면서 $(f(x))^{p-1}$이 $1$-남음인 것이다.
양의 정수 $n$이 주어져있다. 집합 $A$와 $B$는 각각 어느 세 점도 한 직선 상에 있지 않은 평면 위의 $n$개 점의 집합이라 하자. 집합 $A$에 대해 $T(A)$를 $A$에 있는 점 $n$개를 선분 $n-1$개로 이어 만든 곡선 중 어느 두 선분도 교차점이 없도록 하는 것의 수라 하자. $T(B)$ 역시 비슷하게 정의하자. 이때 $B$가 볼록$n$각형의 꼭지점들이고 $A$는 그렇지 않다면 $T(B)<T(A)$임을 보여라.
예각삼각형 $ABC$의 외심을 $O$라 하자. 변 $BC$, $CA$, $AB$ 위에 점 $A’$, $B’$, $C’$을 잘 잡아서 각 삼각형 $AB’C’$, $BC’A’$, $CA’B’$의 외접원이 $O$를 지나게 하자. 중심이 $B’$이고 반지름이 $B’C$인 원과 중심이 $C’$이고 반지름이 $C’B$인 두 원의 근축을 $\ell_a$라 하자. 마찬가지로 $\ell_b$와 $\ell_c$를 정의하자. 이때 $\ell_a$, $\ell_b$, $\ell_c$가 이루는 삼각형의 수심은 삼각형 $ABC$의 수심과 같음을 보여라.