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예각삼각형 $ABC$의 꼭지점 $A$에서 변 $BC$로 내린 수선의 발을 $H$라 하자. 삼각형 $ABH$와 삼각형 $ACH$의 변 $AH$에 접하는 방접원의 중심을 각각 $J$와 $I$라 하자. 삼각형 $ABC$의 내접원과 변 $BC$가 만나는 점을 $P$라 할 때, 네 점 $I$, $J$, $P$, $H$가 한 원 위에 있음을 증명하라.
(2013년, 출처)

집합 $\{1,2,\ldots,n\}$의 부분집합들의 모임에 들어있는 서로 다른 두 집합 $A$, $B$에 대해 만일 $A\subseteq B$이면 $\lvert B-A\rvert\ge 3$이라고 한다. 이 모임에 들어있는 부분집합 수의 최대값을 구하시오.
(2013년, 출처)

음 아닌 정수 $m$, $n$에 대해 실수 $a(m,n)$을 아래와 같이 정의하자. 먼저 $a(0,0)=2$라 하고, 모든 양의 정수 $n$에 대해 $a(0,n)=1$, $a(n,0)=2$이며, 임의의 양의 정수 $m$, $n$에 대해 \[ a(m,n)=a(m-1,n)+a(m,n-1)\]이다. 이때 임의의 양의 정수 $k$에 대해 다항식 \[ P_k(x)=\sum_{i=0}^k a(i,2k+1-2i) x^i$이 0이 되게 하는 모든 $x$는 실수임을 증명하라.
(2013년, 출처)

두 음 아닌 정수 $m$, $n$이 있다. 평면 위에 정육각형이 채워진 체스판에서 아래 규칙으로 말을 옮길 수 있다고 한다.
시작점인 어느 정육각형 칸에서 6개 방향 중 한 방향으로 $m$칸 이동한 후 시계방향으로 60도를 회전하여 그 방향으로 $n$칸을 이동한 후 멈춘다.
어느 칸에서도 다른 칸으로 말을 위의 규칙에 맞게 이동할 수 없는 칸들의 집합의 최대크기를 구하여라.
(2013년, 출처)

아래 조건을 만족하는 양의 정수 $a$, $b$, $c$가 존재하는가?
$a^2+b^2+c^2$이 $2013(ab+bc+ca)$의 배수이다.
(2013년, 출처)

직선 $\ell$ 위에 4개의 점 $A$, $B$, $C$, $D$가 순서대로 있다. 직선 $\ell$ 기준으로 같은 방향에 점 $A$에서 $B$로 가는 두 원호 $C_1$, $C_2$가 있고, 점 $C$에서 점 $D$로 가는 두 원호 $C_3$, $C_4$가 있어서 $C_1$과 $C_3$이 수직으로 만나고 $C_2$와 $C_3$가 수직으로 만난다고 한다. 이때 $C_2$와 $C_3$에 동시에 외접하는 직선과 $C_1$, $C_4$에 동시에 외접하는 직선은 직선 $\ell$에서 만나는 것을 증명하라.
(2013년, 출처)

음아닌 실수 $p_1,p_2,\ldots,p_n$과 $q_1,q_2,\ldots,q_n$이 \[p_1+\cdots+p_n=q_1+\cdots+q_n\]을 만족한다 하자. $i$번째 행의 합이 $p_i$이고 $j$번째 열의 합의 $q_i$이며 각 칸이 음 아닌 실수인 행렬의 주 대각선 칸들의 합이 가질 수 있는 값의 최대값을 구하여라.
(2013년, 출처)

모든 양의 정수 $k$에 대해 $a_{N+1}a_{N+2}\cdots a_{N+k}$가 $a_1a_2\cdots a_k$의 배수가 되는 정수 $N\gt 1$이 존재하는 양의 정수의 등차수열 $a_1,a_2,\ldots$을 모두 찾으시오.
(2013년, 출처)

다음 세 조건을 모두 동시에 만족하는 두 함수 $f:\mathbb{R}^+\to\mathbb R^+$를 구하시오. 단 $\mathbb{R}^+$은 양의 실수의 집합이다.
1) $f$는 증가함수이다.
2) $f(f(x)+2g(x)+3 f(y))=g(x)+2f(x)+3g(y)$.
3) $g(f(x)+y+g(y))=2x-g(x)+f(y)+y$.
(2013년, 출처)

어떤 그래프의 각 선에 실수가 다음 조건을 만족하도록 적혀있다: 임의의 꼭지점에서 출발하여 짝수개의 선을 지나 같은 꼭지점으로 되돌아오는 모든 경우에 대해 지났던 선에 적혀있는 수의 합은 정확히 0이다. (단 한 선을 여러번 지나는 경우 그 수도 여러 번 더한다.)
이때, 각 꼭지점에 적당한 실수를 적으면 각 선에 적힌 수가 그 선의 두 꼭지점에 적힌 수의 합이 되도록 할 수 있음을 보여라.
(2013년, 출처)

삼각형의 세 변의 길이 $a$, $b$, $c$ (단 $a\ge b\ge c$)에 대해 다음 부등식을 증명하라.\[ \sqrt{ a(a+b-\sqrt{ab}) } + \sqrt{ b(a+c-\sqrt{ac})}+\sqrt{ c(b+c-\sqrt{bc})}\ge a+b+c.\]
(2013년, 출처)

원 $\omega$에 내접한 삼각형 $ABCD$가 있다. 삼각형 $ACD$와 $ABC$의 내접원의 중심을 각각 $I_1$, $I_2$, 반지름을 $r_1$, $r_2$라 하자. 이때 $r_1=r_2$이라 하자. 변 $AB$와 $AD$와 접하며 원 $\omega$와 접하는 원이 원 $\omega$와 만나는 점을 $T$라 하자. 원 $\omega$의 점 $A$에서의 접선과 점 $T$에서의 접선이 만나는 점을 $K$라 하자. 이때 $I_1$, $I_2$, $K$는 한 직선 위에 있음을 보여라.
(2013년, 출처)