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식\[ \left(1-\frac{1}{x_1}\right) \left(1-\frac{1}{x_2}\right)\cdots \left(1-\frac{1}{x_n}\right)=\frac{15}{2013}\]이 만족되는 서로 다른 $n$개의 양의 정수 $x_1,x_2,\ldots,x_n$이 존재할 양의 정수 $n$ 중 최소값을 구하여라.
(2013년 1월 16일, 4시간, 출처)

삼각형 $ABC$ 안에 점 $P$가 있다. 직선 $AP$, $BP$, $CP$가 각각 변 $BC$, $CA$, $AB$와 만나는 점을 $D$, $E$, $F$라 하자. 만일 삼각형 $APF$, 삼각형 $BPD$, 삼각형 $CPE$의 넓이가 모두 같다면 $P$는 삼각형 $ABC$의 무게중심임을 증명하라.
(2013년 1월 16일, 4시간, 출처)

양의 정수 $n$이 있다. 원 위의 $2n$개의 서로 다른 점에 $1$부터 $2n$까지의 정수를 임의로 써넣었다. 이 $2n$개의 점들을 서로 잇는 선분(현) 각각에 대해 그 선분이 잇는 두 점에 적힌 정수의 합을 그 선분의 값이라 한다.
이때 $n$개 선분을 잘 뽑으면 선분의 값들의 합이 정확히 $n^2$이 되면서 서로 교차하지 않도록 할 수 있음을 보여라.
(2013년 1월 16일, 4시간, 출처)

양의 정수 $p\le q$가 주어져 있다. 이때 $a^p$나 $a^q$ 둘 중 하나가 $p$의 배수라면 다른 수 역시 $p$의 배수임을 보여라.
(2013년 1월 16일, 4시간, 출처)

양의 실수 $r$, $s$가 $(r+s-rs)(r+s+rs)=rs$를 만족시킨다. 이때 $r+s-rs$와 $r+s+rs$의 최솟값을 구하여라.
(2013년 1월 16일, 4시간, 출처)