---

다음 조건을 만족하는 실수 $\alpha$가 존재하는가?

어떤 두 함수 $f,g:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$에 대해 \[\alpha=\lim_{n\to\infty}\frac{f(n)}{g(n)}\]이지만 $\alpha$를 10진법으로 표현할때 $n$번째 자리수를 나타내는 함수가 recursive하지 않다.

Cycle group $(\mathbb{Z}_n, +)$의 부분집합이 다음 조건을 만족하면 rich하다고 하자.

모든 $x,y\in \mathbb{Z}_n$에 대해 어떤 $r\in \mathbb{Z_n}$이 존재하여 $x-r,x+r,y-r,y+r\in A$.

어떤 $\alpha$에 대해 다음 조건을 만족할 상수 $C_\alpha>0$가 존재할 수 있는가?

모든 홀수인 양의 정수 $n$에 대해 $\mathbb{Z}_n$의 모든 rich한 부분집합은 $C_\alpha n^\alpha$개 이상의 원소를 갖는다.

채색수(chromatic number)가 $k$인 그래프의 선을 2색으로 아무렇게나 칠하더라도 모든 선의 색이 같은 $k$개 꼭지점을 가진 수형도(tree)를 부분그래프로 찾을 수 있음을 보여라.

$n$차원 공간 상에 부피가 1인 convex 집합 $K$가 있다. $K$의 부분집합으로 Lebesgue measurable하면서 그 measure가 $1-\epsilon$ 이상인 집합 $S$를 생각하자. (단, $0<\epsilon<1/3$.)
이때 $K$를 그 무게중심에서 $2\epsilon \ln (1/\epsilon)$배로 팽창시키면 그 안에 $S$의 무게중심이 있음을 보여라.

벡터공간 $\mathbb{R}^8$의 부분공간 $V_1,V_2,V_3,V_4$에서 모든 $1\le i<j\le 4$에 대해 $V_i\cap V_j=\{0\}$이라 한다. 이때 아래 조건을 만족하는 $\mathbb{R}^8$의 4차원 부분공간 $W$가 있다.

모든 $i$에 대해 $W\cap V_i$는 2차원이다.

복소수 위의 행렬 $A,B,C$가 $[A,B]=C$, $[B,C]=A$, $[C,A]=B$를 만족한다고 하자. ($[A,B]=AB-BA$이다.) 이때 $e^{4\pi A}$는 항등행렬임을 보여라.

반지름 $r$인 원 내부에 길이 $\ell$인 rectifiable인 simple curve $\Gamma$가 있다. 이때 $\ell>kr\pi$이면 반지름 $r$인 원 중에 $\Gamma$와 $k+1$개 이상의 서로 다른 점에서 만나는 원이 존재함을 보여라.

임의의 함수 $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$에 대해 다음과 같은 함수 $\Phi_f:\mathbb{R}^2\to[-\infty,\infty]$를 생각하자.
\[\text{모든 $(x,y)\in \mathbb{R}^2$에 대해 } \Phi_f(x,y)=\limsup_{z\to y} f(x,z).\]
a) $f$가 Lebesgue measurable이면 $\Phi_f$ 역시 Lebesgue measurable인가?
b) $f$가 Borel measurable이면 $\Phi_f$ 역시 Borel measurable인가?

복소평면 위의 unit disk $D=\{z\in \mathbb{C}: \lvert z\rvert <1\}$과 실수 $0<\alpha<1$가 주어져있다.
$f(a)=1$, $f(-1)=-1$인 holomorphic 함수 $f:D\to\mathbb{C}\setminus\{0\}$에 대해 다음을 증명하라.
\[\sup_{z\in D} \lvert f(z)\rvert \ge \exp\left(\frac{1-a^2}{4a}\pi\right).\]

3차원 공간에 있는 매듭 $K$가 있다. (즉, $K$는 원에서 $\mathbb{R}^3$로 가는 미분가능한 단사함수이다.) 그리고 $D$를 이 매듭의 다이어그램이라 하자. (즉 $D$는 $K$를 적당한 평면에 projection시킨 것이다.) $D$의 여집합은 검은색으로 칠하고 $D$의 안쪽의 영역들은 체스판처럼 검은색과 흰색으로 칠하되 선을 공유하는 두 영역은 서로 다른 색이 되게 한다. 검은색 영역을 꼭지점으로 하고 두 검은색 영역이 서로 한 점에서 만날때 그 대응되는 두 꼭지점을 선으로 이은 그래프를 $\Gamma_B(D)$라 하자.
a) $\Gamma_B(D)$에 spanning tree가 많아야 3개 뿐인 다이어그램 $D$를 갖는 모든 매듭을 결정하라.
b) 모든 매듭 $K$와 다이어그램 $D$에 대해 $\Gamma_B(D)$의 spanning tree 수는 홀수개임을 보여라.

$X_1,X_2,\ldots$는 동일한 확률분포를 갖는 독립확률변수라 하자. 양의 정수 $n$에 대해 $S_n=X_1+X_2+\cdots+X_n$이라 하자. 다음 부등식을 만족시키는 모든 실수 $c$를 구하라.
\[P\left( \left\lvert \frac{S_{2n}}{2n}-c\right\rvert \le \left\lvert \frac{S_n}{n}-c\right\rvert\right)\ge \frac12.\]