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양의 정수 $q$가 주어져 있다. 정수들의 임의의 유한 집합 $A$에 대해 \[ \lvert A+qA\rvert \ge (q+1)\lvert A\rvert -C_q\]가 성립하게 하는 정수 $C_q$가 존재함을 증명하라.
(단, $A+qA$란 어떤 $a,a’\in A$가 있어서 $a+qa’$꼴로 쓸 수 있는 모든 정수의 집합이다.)
다음 방정식 \[ a^{2n}+b^{4n}+2013=ka^n b^{2n}\]이 모든 정수 $k\ge k_0$에 대해 양의 정수해 $(a,b,n)$이 존재하지 않게 하는 $k_0$가 존재함을 증명하라.
교대군(alternating group) $A_n$의 실로우 $2$-부분군 중 정확히 하나에만 포함된 순열이 존재한다고 한다. 가능한 모든 $n$을 구하라.
원소 $n$개로 구성된 아벨군(abelian group) $A$가 있다. 이때 $GL(n,\mathcal C)$의 부분군 중 $S_{n’}$과 동형인 두 부분군을 적당히 잘 잡으면 그 두 부분군의 교집합이 정확히 $A$의 자기동형사상군(automorphism group)과 동형이 됨을 증명하라.
리대수(Lie algebra) $\mathfrak g$의 부분대수 $\mathfrak h$가 다음 조건을 만족하면 $\mathfrak g$에 주어진 스칼라곱 $\langle \, ,\, \rangle>$에 대해 $\gamma$ 성질을 만족한다고 하자.
$X\in \mathfrak h$이면 모든 $Y\in \mathfrak g$에 대해 $\langle [X,Y], Y\rangle =0$이 된다.
이때 주어진 2-step nilpotent 리대수에서 $\gamma$ 성질을 만족하는 부분대수의 차원의 최대값은 스칼라곱의 선택과 무관함을 증명하라.
단위원소(unit element)가 있는 $C^*$-대수 $\mathcal A$가 있다. 이 원소 중 양인 원소로 원뿔(cone)을 $\mathcal A_+$라 하자. (즉, $\mathcal A_+$은 $\mathcal A$의 self adjoint한 원소 중 spectrum이 $[0,\infty)$에 있는 것의 집합이다.) 이때 아래 연산을 생각하자. \[ x\circ y=\sqrt{x} y\sqrt{x}, \quad x,y\in \mathcal A_+.\] 이때 모든 $x,y\in \mathcal A_+$에 대해 \[ (x\circ y)\circ y=x\circ (y\circ y),\]가 된다면 $\mathcal A$에는 교환법칙이 성립한다.
함수 $f:\mathbb R\to\mathbb R$이 additve라 함은 모든 $x,y\in \mathbb R$에 대해 $f(x+y)=f(x)+y(y)$임을 뜻한다. 어떤 additive인 함수 $f:\mathbb R\to\mathbb R$에 대해 $(0,1)$의 공집합 아닌 어떤 부분구간에서 함수 $x\mapsto f(x) f(\sqrt{1-x^2})$가 유계라면, $f$는 연속함수임을 증명하라.
연속이고 단조증가인 함수 $f:\mathbb R\to\mathbb R$이 모든 $x,y\in \mathbb R$에 대해 \[ f^{-1} \left(\frac{f(x)+f(y)}{2}\right)(f(x)+f(y))=(x+y) f\left(\frac{x+y}{2}\right)\]인 함수가 있다고 한다. 이때 모든 $x\in \mathbb R$에 대해 $f(x)=ax+b$가 성립할 실수 상수 $a\neq 0$, $b$가 존재함을 증명하라.
모든 점에서 불연속이면서 임의의 $x,y\in (0,\infty)$와 임의의 유리수 $\alpha$에 대해 \[ f\left( \left(\frac{x^\alpha+y^\alpha}{2}\right)^{\frac{1}{\alpha}}\right)\le \left( \frac{ f(x)^\alpha+f(y)^\alpha}{2}\right)^{\frac{1}\alpha}\]이 성립하는 함수 $f:(0,\infty)\to(0,\infty)$가 존재함을 증명하라.
벡터공간 $\mathbb R^n$의 리만 계량(Riemann metric)이 임의의 두 점에 대해 그 두 점을 있는 유일한 최소 거리의 측지선(geodesic) $g(a,b)$가 있다고 한다. 모든 $a\in \mathbb R^n$에 대해 $a$에 대응되는 리만 거리(Riemannian distance) $\rho_a:\mathbb R^n\to\mathbb R$이 아래로 볼록하고 $a$ 바깥에서 미분가능하다고 하자. 이때 $a,b$와 다른 점 $x$에 대해 \[ \partial_i \rho_a(x)=-\partial_i \rho_b(x), \quad i=1,\ldots,n\]이 성립한다는 것과 $x$가 $g(a,b)$ 위에 있다는 것이 동치임을 보여라.
(a) 평면 위에 타원이 있다. 이때 전체 평면에 정의된 리만 계량 중 주어진 타원이 측지선(geodesic)이 되게 하는 것이 존재함을 증명하라. 아울러 그러한 리만 계량은 항상 가우스 곡률(Gaussian curvature) 값이 양수임을 보여라.
(b) 평면 위에 같은 점을 두 번 지나지 않고 시작점과 끝점이 같은 두 매끄러운 곡선(smooth curve)이 있다. 이때 두 곡선이 동시에 어느 한 리만 계량의 측지선이라고 한다면, 평면 위의 어떤 점에서는 가우스 곡률이 0이 됨을 증명하라.
가방 안에 토큰이 $n$개가 있다. 하나 이상의 토큰은 흰색이고 나머지는 검정색이다. 가방에서 토큰을 하나씩 임의로 뽑되 뽑은 것은 다시 넣지 않는다고 하자. $i$번째 토큰을 뽑기 직전 가방에 있는 흰색 토큰의 비율을 $X_i$라 하고 \[T=\max \{ \lvert X_i-X_j\rvert : 1\le i\le j\le n\}\]이라 하자. 이때 $\mathbb E(T)\le H(\mathbb E(X_1))$임을 증명하라. (단, $H(x)=-x\ln x-(1-x)\ln (1-x)$이다.)