loading...
양의 정수 $n$이 주어져있다. 원소가 $n$개인 집합 $X$의 모든 부분 집합의 절반보다 더 많은 집합을 원소로 가진 집합의 모음을 $\mathcal F$라 하자. 이때 $\mathcal F$에서 $\lceil \log_2 n\rceil +1$개의 집합을 잘 골라서 다음 조건을 만족하도록 할 수 있음을 보여라.
$X$의 임의의 두 서로 다른 두 원소에 대해 선택된 어떤 집합은 그 둘 중 정확히 하나만을 포함한다.
양의 정수 $k$가 주어져있다. 폐구간 $[0,1]$의 부분구간 $I_1$, $I_2$, $\ldots$, $I_k$ 각각의 길이가 $0$보다 크다고 할 때, 다음을 증명하라. \[\sum \frac{1}{\lvert I_i\cup I_j\rvert}\ge k^2,\] 단, 합은 $I_i\cap I_j\neq\emptyset$인 모든 순서쌍 $(i,j)$에 대해 취한다.
평면 위에 임의의 세 점도 일직선 위에 있지 않은 $4n+5$개 점 각각을 두 색 중 하나로 칠하였다. 색칠된 점을 꼭지점으로 하고 내부에 다른 색칠된 점을 포함하지 않은 삼각형을 빈 삼각형이라고 부르자. 이때 꼭지점의 색은 모두 같으면서 내부가 서로 겹치지 않는 $n$개의 빈 삼각형이 존재함을 보여라.
양의 정수 $n$에 대해 $f(n)$을 양의 정수의 수열 $a_1,\ldots,a_k$ 중 $k\ge0$, $a_i\ge 2$이면서 $a_1a_2\cdots a_k=n$이 되는 것의 개수라고 하자. (단, $f(1)=1$.) 그리고 $1$보다 큰 실수 중에 $\sum_{n=1}^\infty n^{-\alpha} = 2$가 되는 유일한 실수를 $\alpha$라 하자. 이때 다음을 증명하라.
(a) $\sum_{k=1}^n f(k)=O(n^\alpha)$.
(b) $f(n)=O(n^\beta)$가 되는 $\beta\lt \alpha$는 존재하지 않는다.
차수가 $2$인 실수가 아닌 대수적 수 $\alpha$가 주어져 있다. 환(ring) $\mathbb{Z}[\alpha]$의 기약원(irreducible element)들의 집합을 $P$라 하자. 이때 \[ \sum_{p\in P}\frac{1}{\lvert p\rvert ^2}=\infty\]임을 증명하라.
표수(characteristic)가 $p$인 체 위에서 유한 $p$-군($p$-group) $G$의 표현 $\rho:G\to GL(V)$가 주어져있다. 선형 함수 $\sum_{g\in G} \rho(g)$를 $V$의 유한차원 부분공간 $W$로 제한하여 얻은 함수가 단사함수라면, $g\in G$에 대해 얻은 부분공간 $\rho(g)W$들로 생성(span)되는 부분공간은 이 부분공간들의 직합(direct sum)임을 보여라.
함수 $f:\mathbb R\to \mathbb R$은 연속함수이고, 함수 $g:\mathbb R\to \mathbb R$은 임의의 함수이다. 함수 $f$와 함수 $g$ 각각의 그래프의 민코우스키합, 즉 집합 $\{(x+y,f(x)+g(y):x,y\in\mathbb{R}\}$의 르벡 척도가 $0$이라고 하자. 이때 다음을 만족하는 상수 $a,b\in \mathbb {R}$이 존재하는가?
함수 $f$는 $f(x)=ax+b$꼴이다.
고정된 양의 정수 $n$이 있다. 이 때, 차수가 $n$차보다 작은 모든 실수 계수 다항식 $p$와 $c_k\ge0$이고 $\sum_{k=n}^\infty c_k=1$일 때 폐구간 $[0,1]$에서 정의된 모든 함수 $f(x)=\sum_{k=n}^\infty c_k x^k$에 대하여 \[ \inf_{p,f}\max_{0\le x\le 1}\lvert f(x)-p(x)\rvert\]를 구하여라.
함수 $\rho:\mathbb R^n\to \mathbb R$은 $\rho(x)=e^{-\lVert x\rVert^2}$으로 주어져있으며, $\mathbb R^n$의 부분 집합 $K$는 볼록 고체(convex body)이다. (즉, $K$는 내부가 비어있지 않은 compact한 볼록 집합이다.) 무게 함수 $\rho$에 대한 $K$의 무게중심 $s_K$를 \[ s_K=\frac{\int_K \rho(x) x \,dx }{\int_K \rho(x) dx}\]로 정의한다. 이때 $K$를 평행이동해서 나온 볼록 고체들의 $\rho$에 대한 무게중심들은 모두 서로 다르다는 것을 증명하라.
주어진 $2$차원 구의 삼각분할(triangulation)의 각 꼭지점에 평면의 볼록인 부분집합을 대응시킨다. 삼각분할의 2차원 면의 세 꼭지점 각각에 대응되는 세 개의 볼록 집합은 항상 공통인 점을 가진다고 한다. 이때, 어떤 대응되는 $4$개의 볼록 집합이 공통의 점을 갖는 4개의 꼭지점이 존재함을 보여라.
폐구간 $[0,1]$에서 균일 분포인 확률변수 $U$에 대해 \[ S_n=2 \sum_{k=1}^n \sin (2k U\pi)\]라 하자. 이때 $n\to \infty$로 갈 때, $S_n$의 분포는 확률 밀도 함수가 $f(x)=\frac{1}{\pi(1+x^2)}$인 코시 분포임을 보여라.