2016 Miklós Schweitzer 수학경시대회

2016년 10월 24일-11월 2일. 우편으로 답안 제출.

문제 출처: www.bolyai.hu/angol_2016.pdf

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2016 Miklós Schweitzer 수학경시대회, 5.0 out of 5 based on 1 rating

다음 조건 \[ \sum_{n\lt x} f(n)=\alpha x+O(1)\]을 만족시키는 완전 곱셈적(completely multiplicative)이며 복소수 값을 갖는 수론적 함수(arithmetic function)가 존재할 복소수 $\alpha$는?

(유한, 단순) 완전그래프 $K=(V,E)$와 양의 정수 $d$가 있다. 이 그래프의 변의 집합 $E$에 $\mathbb{R}^d$의 점을 대응시키는 함수 $\phi$의 치역의 각 점의 역상(preimage)이 전체 꼭지점 집합 $V$에서 연결된 그래프를 이루며, $K$의 각 삼각형에 대응되는 세 점은 한 직선 위에 있다고 한다. 이때 전체 치역에 있는 점이 모두 한 직선 위에 있음을 보여라.

임의의 실수계수 다항식 $P$와 양의 정수 $n$에 대해, $P^2(x)+Q^2(x)$이 $(1+x^2)^n$으로 나누어 떨어지게 되는 실수계수 다항식 $Q$가 존재함을 보여라.

모든 정수 $m, n\ge 1$에 대해 \[ a(n+m)\le a(n)+a(m)+\frac{n+m}{\log(n+m)}\]이면서 $\{a(n)/n:n\ge 1\}$이 실직선 위에서 everywhere dense인 실수의 수열 $a(1)$, $a(2)$, $\ldots$, $a(n)$, $\ldots$이 존재함을 보여라.

참고: de Brujin과 Erdős의 정리에 의하면 $f(n)\ge 0$이며 $\sum_{n=2}^\infty f(n)/n^2<\infty$인 함수 $f$에 대해 위 부등식에서 마지막 항을 $f(n+m)$으로 바꾼 것이 성립하면 $a(n)/n$이 수렴하거나 $-\infty$로 발산한다.

다음 성질을 만족하는 piecewise linear인 연속함수 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$이 존재하는가? 임의의 양방향 무한수열 $a_n\in[0,1]$, $n\in \mathbb Z$에 대해 \[ \limsup_{K\to\infty} \frac{\lvert \{k\le K: k\in \mathbb N, f^k(x)\in [n,n+1) \}\rvert}{K}=a_n\]인 실수 $x$가 존재한다. 단, $f^k$는 $f$를 $k$번 합성한 함수 $f^k=f\circ \cdots \circ f$이다.

오일러의 감마 함수를 $\Gamma(s)$라 하자. 모든 점에서 0인 것은 아닌 짝함수(even function)인 전해석 함수(entire function)이면서 $F(s)/\Gamma(s)$ 값이 오른쪽 반평면 $\{s:\operatorname{Re}(s)>0\}$에서 유계(bounded)가 되는 것을 만들어보아라.

Show that the unit sphere bundle of the $r$-fold direct sum of the tautological (universal) complex line bundle over the space $\mathbb{C}P^\infty$ is homotopically equivalent to $\mathbb CP^{r-1}$.

어떤 정수 $n>1$에 대해 직사각형 $R$을 서로 합동이 아니지만 $R$과 닮은 직사각형 $n$개로 분할할 수 있는가?

$d$개의 점 $p_0,\ldots,p_d\in \mathbb R^d$에 대해 \[ S(p_0,\ldots,p_d)=\left\{ \alpha_0p_0+\cdots+\alpha_dp_d: \alpha_i\le 1, \sum_{i=0}^d \alpha_i=1\right\}\]이라 하자. 이제 $\mathbb{R}^d$의 어떤 확률분포 $\pi$에서 $p_0,p_1,\ldots,p_d$를 독립적으로 뽑자. 이때 $\pi(S(p_0,\ldots,p_d))$의 기대값은 $1/(d+2)$ 이상임을 보여라.

3차원 공간의 반지름이 1인 구 위에서 동일한 확률분포에서 독립적으로 두 점 $X$, $Y$를 뽑기로 한다. 이 두 점 사이의 (유클리드) 거리의 기대값이 최대가 되려면 $X$의 분포는 어떠해야 하는가?

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