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숫자 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7이 각각 10개씩 있는 70자리 수들을 생각하자. 이러한 수들끼리는 어떤 수가 다른 수의 약수가 될 수 없음을 보여라.

(2011년 3월 23일)

맞은 편 변끼리 서로 평행하지 않는 사각형 $ABCD$가 있다고 하자. 직선 $AB$와 직선 $CD$의 교점을 $X$, 직선 $AD$와 직선 $BC$의 교점을 $Y$라 하자. 각 $AXD$의 각이등분선이 변 $AD$와 변 $BC$에서 각각 점 $E$와 점 $F$에서 만난다고 하자. 각 $AYB$의 각이등분선은 변 $AB$와 변 $CD$에서 각각 점 $G$와 점 $H$에서 만난다고 하자. 이때 사각형 $EGFH$는 평행사변형임을 증명하라.

(2011년 3월 23일)

정사각형을 유한개의 흰색 또는 빨강색 직사각형으로 나누되, 직사각형의 각 변은 정사각형의 변과 평행하도록 나누었다. 각각의 흰색 직사각형 내부에는 그 직사각형의 폭을 높이로 나눈 값을 적자. 각각의 빨강색 직사각형 내부에는 그 직사각형의 높이를 폭으로 나눈 값을 적자. 그 후 모든 적힌 숫자들의 합을 $x$라 하자. 만일 전체 흰색 직사각형의 면적의 합이 전체 빨강색 직사각형의 면적의 합과 같다면, $x$의 가능한 값 중 최솟값은 무엇인가?

(2011년 3월 23일)

다음 성질을 만족하는 양의 정수 $N$이 존재함을 증명하여라: 모든 $N$보다 큰 정수 $a$에 대해, $a$의 십진법 표현에서 어떤 연속한 일부분은 $2011$의 배수이다. (예를 들어, $a=153204$라면 15, 532, 0은 모두 $a$의 연속한 일부분이다. 이때 0은 2011의 배수이다.)

(2011년 3월 23일)

양의 정수 $d$가 주어져있다. 모든 정수 $S$에 대해 어떤 양의 정수 $n$과 $1$ 과 $-1$로만 구성된 수열 $\epsilon_1, \epsilon_2, \ldots,\epsilon_{n’}$이 있어서 $S=\epsilon_1 (1+d)^2+ \epsilon_2(1+2d)^2+ \epsilon (1+3d)^2 + \cdots + \epsilon_n (1+nd)^2$이 됨을 증명하라.

(2011년 3월 23일)