2012 캐나다수학올림피아드

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양의 실수 $x$, $y$, $z$에 대해 $x^2+xy^2+xyz^2\ge 4xyz-4$임을 증명하라.

양의 정수 $n$, $k$에 대해, $k$개의 연속한 정수 $n, n+1, \ldots,n+k-1$의 최소공배수를 $L(n,k)$라 하자. 임의의 정수 $b$에 대해 $L(n,k)> b L(n+1,k)$가 되게 하는 양의 정수 $n$, $k$가 존재함을 보여라.

볼록사각형 $ABCD$의 두 대각선 $AC$와 $BD$가 만나는 점을 $P$라 하자. 만일 $AC+AD=BC+BD$라면, 각 $ACB$, 각 $ADB$, 각 $APB$의 각이등분선들은 한 점에서 만남을 증명하라.

가로로 $n$칸 세로로 $m$칸이 있는 전체 직사각형 모양인 바둑판이 있다. 이 바둑판에 로봇들을 배치한다. 한 칸에 들어갈 수 있는 로봇의 수는 제한이 없다고 한다. 두 칸이 접하는 곳에 있는 선분은 빨간색이거나 파란색인데, 직사각형 바깥 가장자리의 선분은 모두 빨간색이라고 한다.

로봇에게 위, 아래, 왼쪽, 오른쪽이라는 4가지 명령어를 줄 수 있다. 명령어를 주면 모든 로봇은 같은 명령을 동시에 수행하고자 지시받은 방향으로 한 칸 이동하되, 그 사이의 선분이 빨강색인 경우는 그 로봇은 이동하지 않고 제 자리를 지킨다. 이러한 명령어는 원하는 만큼 줄 수 있다.

임의의 로봇에 대해 그 로봇을 원하는 칸으로 이동할 수 있는 명령어 유한개의 나열이 존재한다고 하자. 이때, 모든 로봇을 같은 칸으로 모으도록 하는 명령어 유한개의 나열이 반드시 존재함을 증명하라.

어떤 책장에 $1$번부터 $n$번까지 번호가 붙은 책들이 적당한 순서로 꽃혀있다. 도서관 사서는 이 책을 아래와 같은 방식으로 정리하고자 한다. 원래 있어야 할 위치보다 오른쪽에 있는 번호가 $k$번인 책을 뽑아서 $k$번째 자리에 그 책을 넣는다. 예를 들어 책장에 책이 $1$, $3$, $2$, $4$가 있었다면 $2$번 책을 꺼내서 두 번째 자리에 꼽으면 그 후 책은 $1$, $2$, $3$, $4$로 맞는 순서로 정렬이 된다.

(a) 이 과정을 반복한다면, 책을 어떤 순서로 사서가 뽑던지간에 언젠가는 책이 정확한 순서로 정렬됨을 보여라.
(b) 최악의 경우 최대 몇번 이 작업을 해야 하는가?

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