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\[ (x+1)P(x-1)-(x-1)P(x)\]이 상수 다항식이 되도록 하는 실수 계수 다항식 $P(x)$를 모두 구하여라.
(2013년 3월 27일, 출처)
$a_1,a_2,\ldots,a_n$을 $1,2,\ldots,n$의 순열이라 하자. 총 $n+1$개의 수 $0$, $a_1$, $a_1+a_2$, $a_1+a_2+a_3$, $\ldots$, $a_1+a_2+\cdots+a_n$을 각 $n+1$으로 나눴을때 나머지가 모두 서로 다르게 하는 양의 정수 $n$을 모두 구하여라.
(2013년 3월 27일, 출처)
각$C$가 직각인 직각삼각형 $ABC$의 무게중심을 $G$라 하자. 반직선 $AG$ 위의 점 $P$가 $\angle CPA=\angle CAB$가 되게 하고, 반직선 $BG$ 위의 점 $Q$가 $\angle CQB=\angle ABC$가 되게 하자. 이때 삼각형 $AQG$의 외접원과 삼각형 $BPG$의 외접원이 변 $AB$ 위의 점에서 만남을 보여라.
(2013년 3월 27일, 출처)
양의 정수 $n$이 주어져있다. 양의 정수 $j$와 양의 실수 $r$에 대해 $f_j( r )$과 $g_j( r)$를 다음처럼 정의하자.\[f_j( r)=\min(jr,n)+\min\left(\frac{j}{r},n\right)\text{이고 }g_j( r)=\min(\lceil jr\rceil, n)+\min\left(\left\lceil \frac{j}{r}\right\rceil,n\right)\] (단, $\lceil x\rceil$은 $x$보다 크거나 같은 정수 중 가장 작은 것이라 하자.)
이때 모든 양의 실수 $r$에 대해 \[\sum_{j=1}^n f_j( r )\le n^2+n\le \sum_{j=1}^n g_j ( r) \]임을 보여라.
(2013년 3월 27일, 출처)
예각삼각형 $ABC$의 외심을 $O$라 하자. 변 $AB$ 위에 $\angle BOP=\angle ABC$가 되게 점 $P$를 잡고, 변 $AC$ 위에 $\angle COQ=\angle ACB$가 되게 점 $Q$를 잡자. 이때 직선 $PQ$를 기준으로 직선 $BC$를 대칭시켜 얻은 직선이 삼각형 $APQ$의 외접원과 접한다는 것을 증명하라.
(2013년 3월 27일, 출처)