2015년 4월 1일.
문제: http://cms.math.ca/Competitions/OMC/exam/cmo2015.pdf
loading...
양의 정수의 집합을 $\mathbb{N}$이라 하자. 모든 양의 정수 $n$에 대해 \[ (n-1)^2 \lt f(n) f(f(n)) \lt n^2+n\]을 만족시키는 함수 $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$을 모두 구하여라.
예각삼각형 $ABC$의 꼭지점 $A$, $B$, $C$에서 마주보는 변으로 내린 수선의 발을 각각 $D$, $E$, $F$라 하고 수심을 $H$라 하자. 이때 다음 부등식을 증명하라. \[ \frac{ AB\cdot AC+BC\cdot BA+CA\cdot CB}{AH\cdot AD+BH\cdot BE+CH\cdot CF}\le 2.\]
가로로 $4n+2$칸, 세로로 $4n+2$칸이 있는 바둑판 위에서 거북이가 이동을 한다. 이동할때는 변을 공유한 옆 칸으로 움직일 수 있다. 거북이가 처음에 왼쪽 아래 구석에 있는 칸에서 출발하여 모든 칸을 정확히 한번씩 방문하고 처음 출발했던 칸으로 되돌아왔다고 한다. 이러한 모든 거북이의 이동방법에 대해 거북이가 $k$번 이상 방문한 열이나 행이 항상 존재할 최대의 $k$값을 $n$에 관한 식으로 구하여라.
예각삼각형 $ABC$의 외심을 $O$라 하자. 꼭지점 $A$에서 변 $BC$에 내린 수선을 이등분하는 점을 중심으로 하고 점 $A$를 통과하는 원 $\Gamma$가 변 $AB$, $AC$와 만나는 점을 각각 $P$, $Q$라 하자. 만일 $BP\cdot CQ=AP\cdot AQ$라면 원 $\Gamma$는 삼각형 $BOC$의 외접원과 접한다는 것을 증명하라.
식 $\frac{p-1}{2}$도 소수가 되는 소수 $p$가 있고 $p$로 나눠떨어지지 않는 세 정수 $a$, $b$, $c$가 있다. 이때 $n\lt p$이면서 $p$가 $a^n+b^n+c^n$을 나누어 떨어지게 하는 양의 정수 $n$의 수는 $1+\sqrt{2p}$ 이하임을 보여라.