2017 캐나다수학올림피아드

2017년 3월 29일.

출처

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서로 다른 음 아닌 세 실수 $a$, $b$, $c$에 대하여 다음 부등식을 증명하라. \[ \frac{a^2}{(b-c)^2}+\frac{b^2}{(c-a)^2}+\frac{c^2}{(a-b)^2}>2\]

양의 정수의 집합 위에서 정의된 함수 $f$는 모든 $n$에 대해 $n$의 양의 약수의 개수가 정확히 $f(f(n))$과 같다고 한다. 예를 들어 $f(f(6))=4$이며 $f(f(25))=3$이다. 만일 $p$가 소수이면 $f(p)$ 역시 소수임을 보여라.

양의 정수 $n$에 대해 $S_n=\{1,2,\ldots,n\}$이라 하자. 어떤 $S_n$의 공집합이 아닌 부분집합 $T$를 생각하자. 만일 $T$의 중간값이 $T$의 평균과 같으면 이때 $T$를 균형이 맞다고 하자. 예를 들어 $n=9$인 경우, 집합 $\{7\}$, $\{2,5\}$, $\{2,3,4\}$, $\{5,6,8,9\}$, $\{1,4,5,7,8\}$ 각각은 균형이 맞으나, $\{2,4,5\}$, $\{1,2,3,5\}$는 균형이 맞지 않는다. 각각의 $n\ge 1$에 대하여 $S_n$의 균형의 맞는 부분집합의 수는 홀수개임을 보여라.

($k$개의 수의 집합의 중간값이란 이 수를 크기가 증가하는 순으로 늘어놓았을 때, $k$가 홀수인 경우는 가장 가운데 있는 수로 하고, $k$가 짝수일 때에는 가운데 있는 두 수의 평균으로 정의한다. 예를 들어 $\{1,3,4,8,9\}$의 중간값은 $4$이며, $\{1,3,4,7,8,9\}$의 중간값은 $(4+7)/2=5.5$이다.)

평행사변형 $ABCD$의 내부에 점 $P$, $Q$를 잘 잡았더니 삼각형 $ABP$, $BCQ$가 모두 정삼각형이 되었다고 한다. 이때 $P$를 지나고 $DP$에 수직인 직선과 $Q$를 지나고 $DQ$에 수직인 직선의 교점은 $B$에서 $AC$로 내린 수선의 발과 같음을 보여라.

평면 위에 반지름이 1인 원 100개가 있는데 그 중 어떠한 세 원을 잡더라도 그 중심을 이어서 만든 삼각형의 넓이가 2017 이하라고 한다. 이때 이 원 중 3개 이상을 만나는 직선이 존재함을 보여라.

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