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모든 $i=1,2,\ldots,n$에 대해  $|x_i|=|y_i|=1$을 만족하는 복소수 $x_i$, $y_i$가 주어져있다. 이때 $x=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$, $y=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n y_i$라하고 하고, $z_i=xy_i+y x_i-x_iy_i$라 하자. 이때 $\sum_{i=1}^n |z_i|\le n$임을 증명하라.

각 변의 길이가 서로 다른 삼각형 $ABC$의 내접원이 변 $BC$, $CA$, $AB$와 만나는 점을 각각 $D$, $E$, $F$라 하자. 점 $L$, $M$, $N$을 각각 직선 $EF$, $FD$, $DE$에 대해 각각 점 $D$, 점 $E$, 점 $F$를 대칭시켜 얻은 점이라 하자. 직선 $AL$이 직선 $BC$와 만나는 점을 $P$, 직선 $BM$이 직선 $CA$와 만나는 점을 $Q$, 그리고 직선 $CN$이 직선 $AB$와 만나는 점을 $R$이라 하자. 이때 $P$, $Q$, $R$은 한 직선 위에 있음을 보여라.

각 양의 정수 $n$에 대해 $x_n=\binom{2n}{n}$이라 하자. 이때 $A\cap B=\emptyset$이고 $\frac{\prod_{i\in A}x_i}{\prod_{i\in B} x_i}=2012$인 양의 정수들의 유한 집합 $A$, $B$의 순서쌍 $(A,B)$가 무한히 많음을 증명하라.

평면 위의 두 원 $\omega_1$, $\omega_2$에 대해 $S$를 외접원이 $\omega_1$이고 변$BC$와 만나는 방접원이 $\omega_2$인 삼각형 $ABC$ 전체의 집합이라고 하자. 이때 $S$에 속한 각 삼각형 $ABC$에 대해 점 $D$, $E$, $F$를 각각 직선 $BC$, $CA$, $AB$가 $\omega_2$와 만나는 점이라 할 때, $S$가 공집합이 아니면 삼각형 $DEF$의 무게중심이 고정되어 있음을 증명하라.

양의 정수 $n$의 양의 약수의 갯수를 $\tau(n)$이라 하자. 만일 $n$보다 작은 모든 양의 정수 $m$에 대해 $\tau(m)<\tau(n)$이면 $n$을 좋은 수라고 부르자. 이때 임의의 양의 정수 $k$에 대해, $k$의 배수가 아닌 좋은 수는 많아야 유한개 밖에 없음을 증명하라.

양의 정수 $n$이 주어져있다. 이때 다음 조건을 만족하는 모든 함수 $f:\mathbb Z\to \mathbb{Z}$를 구하여라.

모든 정수 $x$, $y$에 대해  $f(x+y+f(y))=f(x)+ny$

($\mathbb{Z}$는 정수 전체의 집합이다.)

그래프에서 서로 이웃한 $t$개의 꼭지점을 $t$당이라 부르자. 어떤 꼭지점이 다른 모든 꼭지점과 이웃할 때 그 꼭지점을 중심점이라 부르자. 부등식 $\frac{3}{2}\le \frac{1}{2} n <k<n$을 만족하도록 두 정수 $n$, $k$가 주어져있다. 이때, $(k+1)$당이 없지만, 없던 변을 아무렇게나 추가해도 $(k+1)$당이 반드시 생기는 꼭지점 $n$개를 가진 그래프가 가질 수 있는 최소의 중심점 수는 몇 개인가?

다음 조건을 만족하는 양의 실수 $C$가 존재함을 증명하라: 임의의 정수 $n\ge 2$과 $\{1,2,\ldots,n\}$의 임의의 부분집합 $X$에 대해 $|X|\ge 2$이면 $\alpha=\frac{|X|}{n}$일 때 $0<|xy-zw|<C\alpha^{-4}$를 만족하도록 하는 $x,y,z,w\in X$가 존재함을 보여라. ($x,y,z,w$는 서로 같을 수도 있다.)

두 정수 $a_1<a_2$가 주어져있다. 임의의 정수 $n\ge 3$에 대해 $a_n$을 $a_{n-1}$보다 크고 $a_{i}+a_j$ ($1\le i<j\le n-1$) 꼴로 나타낼 수 있는 최소의 정수라고 하자. 만일 수열 $a_1, a_2, \ldots$에 짝수가 유한개밖에 없다면, 수열 $\{a_{n+1}-a_n\}$은 충분히 큰 $n$에 대해 그 이후만 보면 주기를 가짐을 증명하라. 즉, 어떤 양의 정수 $N$, $T$가 존재해서 모든 $n>N$에 대해 \[a_{T+n+1}-a_{T+n}=a_{n+1}-a_n\]이다.

주어진 정수 $n\ge 2$에 대해 다음 세 조건을 만족하는 양의 정수 $n$개의 순서쌍 $(a_1,a_2,\ldots,a_n)$이 유한개밖에 없음을 증명하라.

(1) $a_1>a_2>\cdots>a_n$.

(2) $\gcd(a_1,a_2,\ldots,a_n)=1$.

(3) $a_1=\sum_{i=1}^n \gcd(a_i,a_{i+1})$.  (여기서 $a_{n+1}=a_1$이라 하자.)

$1$보다 큰 두 정수 $m$, $n$과 두 양의 실수 $r<s$가 주어져있다. 모두 동시에 $0$은 아닌 실수 $a_{ij}\ge 0$에 대해 다음 식의 최댓값을 구하여라. \[ f=\frac{ \left( \sum_{j=1}^n \left(\sum_{i=1}^m a_{ij}^s \right)^{\frac{r}{s}} \right)^{\frac1r} }{\left( \sum_{i=1}^m \left(\sum_{j=1}^n a_{ij}^r\right)^{\frac{s}{r}}\right)^{\frac{1}{s}}}.\]

정수 $n\ge 2$에 대해 어떤 함수 $f:\mathbb{Z}\to \{1,2,\ldots,n\}$이 다음 조건을 만족하면 좋은 함수라 하자: 임의의 정수 $k$ ($1\le k\le n-1$)에 대해 \[f(m+j(k))\equiv f(m+k)-f(m)\pmod{n+1}\]이 모든 정수 $m$에 대해 성립하게 하는 정수 $j(k)$가 존재한다.

좋은 함수가 몇 개나 있는지 구하여라. ($\mathbb{Z}$는 정수 전체의 집합이다.)

수심이 $H$인 예각삼각형 $ABC$의 변 $AB$와 $AC$위에 각각 점  $M$, $N$을 $\angle HMB=\angle HNC=60^\circ$가 되게 잡자. 삼각형 $HMN$의 외심을 $O$라 하자. 삼각형 $DBC$가 정삼각형이 되게 $D$를 직선 $BC$로 나누어진 평면에서 $A$와 같은 쪽에 있도록 잡자. 이때 $H$, $O$, $D$가 한 직선 상에 있음을 증명하라.

정수 $k\ge 2$에 대해, 다음 조건을 만족하는 서로 다른 $k$개의 양의 정수 $a_1, a_2, \ldots, a_k$가 존재함을 증명하여라.

임의의 음 아닌 정수 $b_1, b_2, \ldots,b_k, c_1,c_2,\ldots,c_k$에 대해, 만일 모든 $i=1,2,\ldots,k$에 대해 $a_i\le b_i\le 2a_i$이고 $\prod_{i=1}^k b_i^{c_i} <\prod_{i=1}^k b_i$이면, \[ k\prod_{i=1}^k b_i^{c_i}< \prod_{i=1}^k b_i\]이다.

임의의 2012차 다항식 $P(x)=x^{2012}+a_{2011}x^{2011}+\cdots+a_1 x+a_0$과, 거기서 계수 몇 개를 아무렇게나 뽑아 $-1$을 곱하여 얻은 다항식 $Q(x)$에서 $Q(z)=0$의 모든 복소수 해 $z=a+bi$에 대해 $|b|\le c |a|$가 성립하게 할 최소의 실수 $c$ 값을 구하여라.

주어진 정수 $n\ge 4$에 대해 $S=\{1,2,\ldots,n\}$이라 하자. 집합 $S$의 두 부분집합 $A$, $B$에서 임의의 원소 $a\in A$, $b\in B$에 대해 $ab+1$이 완전제곱수라면 \[ \min{|A|,|B|}\le \log_2 n\]임을 증명하라.

$1<m<k$이고 $1<n<k$이면서 $\gcd(m,k)=\gcd(n,k)=1$, $m+n>k$이고 $k$가 $(m-1)(n-1)$의 약수가 되도록 하는 정수 $m$, $n$이 존재할 정수 $k\ge 3$를 모두 구하시오.

가로로 2012칸, 세로로 2012칸이 있는 바둑판의 각 칸에 벌이 한마리 이하로 있다고 하자. 모든 벌이 일시에 자리를 이동하되 여전히 각 칸에 한마리 이하가 되도록 이동하였다고 하자. 어떤 벌 B가 어떤 칸에서 다른 칸으로 이동할 때, 출발한 칸의 중심에서 도착한 칸의 중심까지를 나타내는 벡터를 벌 B의 이동벡터라 하자. 이때, 모든 가능한 시작 상황과 도착 상황에 대해 벌들의 이동벡터의 합의 길이의 최댓값을 구하여라.