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삼각형 $ABC$에서 각 $A$가 가장 큰 각이라고 하자. 삼각형 $ABC$의 외접원 위에서 $A$에서 시작하여 $B$를 거쳐 $C$로 가는 호의 중점을 $D$, $A$에서 시작하여 $C$를 거쳐 $B$로 하는 호의 중점을 $E$라 하자. 원 $c_1$이 점 $A$, $B$를 지나고 점 $A$에서 직선 $AC$에 접하고, 원 $c_2$는 점 $A$, $E$를 지나고 점 $A$에서 직선 $AD$에 접한다. 원 $c_1$과 원 $c_2$의 교점을 $A$와 점 $P$라 하자. 이때 $AP$는 각 $BAC$를 이등분함을 증명하라.

어떤 소수 $p$가 주어져있다. 1부터 $p^2$까지의 소수를 $p\times p$ 행렬 $A=(a_{ij})$에 적절히 배치하였다고 하자. 어떤 행이나 열의 모든 수에 1을 더하거나 1을 뺄 수 있다고 하자. 이러한 조작을 유한번 반복하여 행렬의 모든 항이 0이 되게 할 수 있으면 이 배치를 좋은 배치라고 하자. 모든 좋은 배치의 수를 구하여라.

임의의 $M>2$에 대해 다음 두 성질을 만족하는 양의 정수의 수열 $a_1<a_2<\cdots$이 존재함을 보여라.
(i) 모든 양의 정수 $i$에 대해 $a_i>M^i$이다
(ii) 정수 $n$에 대해 $n=a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_m b_m$이 성립하도록 어떤 양의 정수 $m$과 $b_1,b_2,\ldots,b_m\in \{-1,1\}$을 잡을 수 있을 필요충분조건은 $n$이 $0$이 아니라는 것이다.

양수 $a,b$에 대해 $f(x)=(x+a)(x+b)$라 하자. 실수 $x_1,x_2,\ldots,x_n\ge 0$에 대해 $x_1+x_2+\cdots+x_n=1$일 때  $F=\sum_{1\le i<j\le n} \min(f(x_i) , f(x_j))$의 최댓값을 구하여라.

소수 $p$와  1이 아닌 완전제곱수로는 나눠떨어지지 않는 짝수인 정수 $n$에서 $n$과 $p$가 서로소이고, $p\le 2\sqrt n$이며, $n+k^2$이 $p$의 배수가 되게 하는 $k$가 존재한다고 하자. 이때, $n=ab+bc+ca$가 되는 서로 다른 양의 정수 $a$, $b$, $c$가 존재함을 증명하라.

다음 명제가 성립할 최소의 양의 정수 $k$를 구하여라. 집합 $S=\{1,2,\ldots,2012\}$의 부분집합 $A$가 원소를 $k$개 가진다면, 어떤 세 원소 $x,y,z\in A$가 있어서 $x=a+b$, $y=b+c$, $z=c+a$가 되는 서로 다른 세 정수 $a, b, c\in S$가 존재한다.