2013 중국수학올림피아드

2013년 1월에 개최된 제28회 중국수학올림피아드(CMO)입니다.

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반지름이 다른 두 원$K_1$, $K_2$가 점 $A$, $B$에서 만나며 원 $K_1$의 점$C$, 원 $K_2$의 점 $D$가 있어서 선분 $CD$의 중점이 $A$라 하자. 직선 $DB$가 $K_1$과 만나는 $B$ 아닌 점을 $E$라 하고, 직선 $CB$가 $K_2$와 만나는 $B$ 아닌 점을 $F$라 하자. 선분 $CD$, 선분 $EF$의 수직이등분선을 각각 $\ell_1$, $\ell_2$라 하자.
(1) 직선 $\ell_1$, $\ell_2$은 정확히 한 점에서 만남을 증명하라. (이 점을 $P$라 하자.)
(2) $CA$, $AP$, $PE$의 길이가 직각삼각형의 변의 길이가 됨을 증명하라.
(첫째날)

모든 $m,n\in S$에 대해 $3m-2n\in S$가 되는 정수의 집합 $S$ 중 공집합이 아닌 것을 모두 찾으시오.
(첫째날)

다음 조건을 만족하는 모든 양의 실수 $t$를 구하여라: 부등식
\[ \max\{ \lvert x-(a-d)\rvert, \lvert y-a\rvert , \lvert z-(a+d)\rvert \} > td\]가 모든 $x,y,z\in X$와 모든 실수 $a$, 모든 양의 실수 $d$에 대해 성립하게 할 실수의 무한 집합 $X$가 존재한다.
(첫째날)

정수 $n\ge 2$에 대해 다음 조건을 만족하는 $n$개의 유한 집합 $A_1,A_2,\ldots,A_n$이 주어져 있다.
\[ \text{모든 $i,j\in\{1,2,\ldots,n\}$에 대해 }\lvert A_i\Delta A_j\rvert = \lvert i-j\rvert.\](단 $X\Delta Y=(X-Y)\cup (Y-X)$이다.) 이때 $\sum_{i=1}^n \lvert A_i\rvert$의 최솟값을 구하여라.
(둘째날)

임의의 양의 정수 $n$과 $0\le i\le n$에 대해 $c(n,i)\equiv \binom{n}{i} \pmod 2$이며 $c(n,i)\in \{0,1\}$이 되게 정의하자. (단, $\binom{n}{i}$는 ${}_n C_i$와 같다.) 그리고 $f(n,q)=\sum_{i=0}^n c(n,i)q^i$라 정의하자.
양의 정수 $m$, $n$, $q$에 대해 만일 $q+1$이 $2$의 거듭제곱꼴인 수가 아니고 $f(n,q)$가 $f(m,q)$의 배수라면, 임의의 양의 정수 $r$에 대해 $f(n,r)$은 $f(m,r)$의 배수임을 보여라.
(둘째날)

양의 정수 $m$, $n$에 대해 다음 조건을 만족하는 양의 정수 $N$ 중 최솟값을 구하여라.
원소 $N$개인 정수의 집합 $S$가 임의의 $0\le i<m$에 대해 $S$ 원소 중에 $m$으로 나누어 $i$가 남는 수가 존재하면, 원소의 합이 $n$의 배수가 되는 $S$의 부분집합 $A$($A\neq \emptyset$)가 반드시 존재한다.
(둘째날)

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