제29회 중국수학올림피아드.
첫째날 2013년 12월 21일 8:00-12:30, 1번~3번문제.
둘째날 2013년 12월 22일 8:00-12:30, 4번~6번문제.
난징.
(제28회 중국수학올림피아드는 2013년 1월에, 제29회 중국수학올림피아드는 2013년 12월에 열린 관계로 혼란을 피하기 위해 제목에 2014로 정리하였습니다.)
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$AB\gt AC$인 예각삼각형 $ABC$의 각 $A$의 이등분선이 변 $BC$와 만나는 점을 $D$라 하자. 점 $B$, $C$, $F$, $E$가 한 원 위에 있도록 변 $AC$와 변 $AB$ 각각에 점 $F$와 $E$가 주어져있다. 이때 삼각형 $DEF$의 외심과 삼각형 $ABC$의 내심이 같을 필요충분조건은 $BE+CF=BC$임을 증명하라.
$1$보다 큰 정수 $n$에 대해 \[D(n)=\{a-b\colon ab=n, a\gt b, a,b:\text{양의 정수}\}\]라 하자. 이때 모든 $1$보다 큰 정수 $k$에 대해, \[ \lvert D(n_1)\cap D(n_2)\cap \cdots \cap D(n_k)\rvert \ge 2\]가 되는 $k$개의 서로 다른 $1$보다 큰 정수 $n_1,n_2,\ldots,n_k$가 존재함을 증명하라.
양의 정수의 집합 $\mathbb N$에 대해 다음 두 조건을 만족시키는 함수 $f:\mathbb N\to\mathbb N$은 유일하게 존재함을 증명하고 모든 $1$보다 큰 정수 $m$에 대해 $f(2^m)$ 값을 결정하라.
(i) $f(1)=f(2)=1$.
(ii) 모든 $n=3,4,\ldots$에 대해 $f(n)=f(f(n-1))+f(n-f(n-1))$.
$1$보다 큰 정수 $n$을 소인수분해하여 $n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_t^{a_t}$로 나타날 때, \[ \omega(n)=t, \quad \Omega(n)=a_1+a_2+\cdots+a_t\]라 정의하자. 이때 다음 명제를 증명 또는 반증하여라.
임의의 양의 정수 $k$와 양의 실수 $\alpha$, $\beta$에 대해 \[ \frac{\omega(n+k)}{\omega(n)}\gt \alpha, \quad \frac{\Omega(n+k)}{\Omega(n)}\lt \beta\]인 양의 정수 $n\gt 1$이 존재한다.
집합 $X=\{1,2,\ldots,100\}$에 대해 다음 두 조건을 만족시키는 함수 $f:X\to X$를 고려하자.
(i) 모든 $x=1,2,\ldots,100$에 대해 $f(x)\neq x$이다.
(ii) 집합 $X$의 임의의 부분집합 $A$에 대해 $\lvert A\rvert =40$이면 $A\cap f(A)\neq \emptyset$이다.
이때 이러한 모든 함수 $f$에 대해 $B\cup f(B)=X$가 되게 하는 $\lvert B\rvert=k$인 부분집합 $B$가 반드시 존재하게 할 최소의 $k$ 값을 구하여라.
두 집합 $S$, $T$에 대해 $S+T=\{s+t\colon s\in S, t\in T\}$, $2R=\{2r\colon r\in R\}$로 정의하자. 집합 $\{1,2,\ldots,n\}$의 두 부분집합 $A$, $B$에 대해 다음 두 조건을 동시에 만족하는 집합 $D$가 존재함을 증명하라.
(i) $D+D\in 2(A+B)$.
(ii) $\lvert D\rvert \ge \frac{\lvert A\rvert \lvert B\rvert}{2n}$.