2017 인도수학올림피아드

2017년 1월 15일. 총 4시간.

제 32회 Indian National Mathematical Olympiad

출처: http://olympiads.hbcse.tifr.res.in/?page_id=74

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정사각형 모양의 색종이 $ABCD$가 있다. 변 $AB$ 위의 어떤 점 $E$, 변 $CD$ 위의 어떤 점 $F$에 대하여 직선 $EF$를 기준으로 색종이를 접었을 때, 점 $A$가 이동하여 얻어진 점 $A’$이 변 $BC$ 위에 있으며, 점 $D$가 이동하여 얻어진 점이 $D’$이라 한다. 직선 $A’D’$이 $CD$와 만나는 점을 $G$라 하자. 이때, 삼각형 $GCA’$의 내접원의 반지름은 삼각형 $GD’F$의 내접원의 반지름과 삼각형 $A’BE$의 내접원의 반지름의 합임을 보여라.

어떤 음 아닌 정수 $n$에 대해 \[ x^3+\alpha x+ 4-(2\times 2016^n)=0\]의 모든 해가 정수였다고 한다. 가능한 $\alpha$ 값을 모두 구하라.

실수 $x$와 $\{1,2,\ldots,9\}$의 원소 $a$, $b$가 \[ x^2 – a\{x\}+b=0\]을 만족시킨다고 할때 가능한 모든 $(x,a,b)$의 순서쌍을 구하라. 단, $\{x\}$는 실수 $x$의 소수부, 즉 $x$에서 $x$보다 작거나 같은 가장 큰 정수를 뺀 값을 뜻한다. 예를 들어 $\{1.1\}=0.1=\{-0.9\}$.

각 $A$, $B$, $C$, $D$가 모두 120도인 볼록오각형 $ABCDE$의 변의 길이가 정확히 5개의 연속인 정수가 어떤 순서로 섞여있는 것이라고 한다.  이때 $AB+BC+CD$가 가능한 값을 모두 구하라.

각 $A$가 90도이며 $AB\lt AC$인 삼각형 $ABC$의 꼭짓점 $A$에서 $BC$로 내린 수선의 발을 $D$라 하자. 삼각형 $ABD$, $ACD$, $ABC$의 내심을 각각 $P$, $Q$, $I$라 하자. 이때 $AI$는 $PQ$와 수직이며 $AI=PQ$임을 보여라.

양의 정수 $n$에 대해 다음 값 \[ x=\sum_{k\ge 0} \binom{n}{2k} 2^{n-2k}3^k= \binom{n}{0}2^n+\binom{n}{2} 2^{n-2}\cdot 3+\binom{n}{4}2^{n-4}\cdot 3^2+\cdots\]을 생각하자. 이때, $2x-1$, $2x$, $2x+1$은 넓이와 내접원이 반지름이 모두 정수인 삼각형의 세 변의 길이가 됨을 보여라.

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