The 1st International Olympiad of Metropolises http://megapolis.educom.ru
2016년 9월 4일-9일.
loading...
연속한 n개의 양의 정수의 합이 완전제곱수가 되는 경우가 존재할 양의 정수 n을 모두 구하여라.
양의 정수 $a_1,a_2,\ldots,a_n$이 \[ \sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i}<\frac{1}{2}\]을 만족시킨다. 매년 정부에서는 n개의 경제 지표에 관한 보고서를 발간한다. 각 $i=1,2,\ldots, n$에 대해 $i$번째 경제 지표가 가질 수 있는 가능한 값은 $1$, $2$, $\ldots$, $a_i$ 중의 하나이다. 보고서가 그 전 해 보고서보다 $n-1$개 이상의 경제 지표값이 더 커진 걸로 나오면 낙관적이라고 하자. 이때 이 정부는 영원히 낙관적인 보고서만 발간할 수 있음을 보여라.
원에 내접하며 원의 중심이 내부에 있는 볼록다각형 $A_1A_2\ldots A_n$이 있다. 변 $A_1A_2$, $A_2A_3$, $\ldots$, $A_nA_1$에 꼭지점과 겹치지 않게 각각 점 $B_1$, $B_2$, $\ldots$, $B_n$을 임의로 잡았을 때 부등식 \[\frac{B_1B_2}{A_1A_3}+\frac{B_2B_3}{A_2A_4}+\cdots+\frac{B_nB_1}{A_nA_2}>1\]임을 보여라.
볼록사각형 $ABCD$의 각 $A$, 각 $C$가 직각이라고 한다. 변 $AD$를 $D$를 넘어 연장한 연장선 위에 $\angle ABE=\angle ADC$가 되게 점 $E$가 있다. 점 $C$를 점 $A$에 대해 대칭시켜 얻은 점을 $K$라 하자. 이때 $\angle ADB=\angle AKE$임을 보여라.
실수 계수를 갖는 다항식 $r(x)$의 차수가 홀수라고 한다. 이때 \[ (p(x))^3+q(x^2)=r(x)\]를 만족하는 실수 계수를 갖는 두 다항식 $p(x)$, $q(x)$의 순서쌍의 갯수는 유한함을 보여라.
n개 도시가 있는 어느 나라가 있다. 어떤 두 도시 사이에는 두 회사 A,B 중 하나가 운항하는 편도 항공편이 있을 수 있다. 두 도시 사이의 항공편은 각 방향으로 여러 편이 있을 수도 있다. 연결된 항공편의 나열에서 회사 이름만 써봤을때 w라는 문자열이 나오면 그 A, B로 구성된 문자열 w를 `구현가능’하다고 하자. 만일 길이가 $2^n$이고 A, B로 구성된 모든 문자열이 구현가능하다면, 유한한 길이이면서 A, B로 구성된 모든 문자열이 구현가능함을 증명하라.