제10회 아시아태평양수학올림피아드.

1998년 3월 15일

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집합 $\{1, 2, \ldots,1998\}$의 부분집합 $A_1$, $A_2$, $\ldots$, $A_n$으로 이루어진 순서쌍 $(A_1, A_2,\ldots, A_n)$ 전체의 집합을 $\mathcal F$라 할 때, \[ \sum_{(A_1,A_2,\ldots,A_n)\in \mathcal F} \lvert A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n\rvert \]을 구하여라. 단, $\lvert A\rvert$는 집합 $A$의 원소의 개수를 나타낸다.

임의의 양의 정수 $a$와 $b$에 대하여 $(36a+b)(a+36b)$는 $2$의 거듭제곱으로 나타낼 수 없음을 보여라.

양수 $a$, $b$, $c$에 대하여 다음 부등식을 증명하여라.\[ \left( 1+\frac{a}{b}\right) \left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)\ge 2\left(1+\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}\right)\]

$\triangle ABC$에서 $D$는 $A$에서 변 $BC$에 내린 수선의 발이다. 점 $D$를 지나는 한 직선위에 $D$가 아닌 두 점 $E$, $F$를 잡아 $AE\perp BE$, $AB\perp CF$ 되게 한다. $M$, $N$이 각각 선분 $BC$, $EF$의 중점일 때, $AN\perp NM$임을 보여라.

자연수 $n$은 $\sqrt[3]{n}$보다 작은 모든 자연수로 나누어 떨어진다. 이러한 자연수 $n$ 중 가장 큰 수를 구하여라.