제11회 아시아태평양수학올림피아드. 1999년 3월 14일.
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다음 성질을 만족하는 최소의 자연수 $n$을 구하여라: 1999개의 실수항으로 이루어진 등차수열로서 꼭 $n$개의 정수항을 갖는 수열은 존재하지 않는다.
실수항으로 이루어진 수열 $a_1$, $a_2$, $\ldots$은 모든 자연수 $i$, $j$에 대하여 $a_{i+j}\le a_i+a_j$를 만족한다. 다음 부등식이 모든 자연수 $n$에 대해 성립함을 보여라.\[ a_1+\frac{a_2}{2}+\frac{a_3}{3}+\cdots+\frac{a_n}{n}\ge a_n\]
두 원 $\Gamma_1$과 $\Gamma_2$가 두 점 $P$와 $Q$에서 교차한다. $P$와 가까운 쪽에서 이 두 원의 공통접선을 그을 때 이 접선이 두 원 $\Gamma_1$, $\Gamma_2$와 각각 점 $A$, $B$에서 접한다. $P$에서의 $\Gamma_1$의 접선이 $\Gamma_2$와 점 $C$에서 만난다. ($C$는 $P$와 같지 않다.) $AP$의 연장선과 $BC$의 교점을 $R$이라 하자. 삼각형 $PQR$의 외접원이 $BP$와 $BR$에 모두 접함을 보여라.
$a^2+4b$와 $b^2+4a$가 모두 완전제곱수가 되는 정수 쌍 $(a,b)$를 모두 구하여라.
집합 $S$는 평면 상의 $2n+1$개의 점들로 이루어진 집합으로서 $S$의 어느 세 점도 일직선 상에 있지 않고, 어떤 네 점도 한 원 상에 있지 않다. 어떤 원에 대해 $S$의 점 중 세 점이 원주 상에 있고, $n-1$개의 점은 이 원의 내부에, $n-1$개의 점은 이 원의 외부에 있을 때, 이 원을 ‘좋은’ 원이라 부르자. 좋은 원들의 개수를 $m$이라 하자. $m-n$이 항상 짝수임을 보여라.