2000 아시아태평양수학올림피아드

제12회 아시아태평양수학올림피아드. 2000년 3월 19일.

출처

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자연수 $i$에 대하여 $x_i=\frac{i}{101}$일 때 다음의 합 $S$를 구하여라. \[ S=\sum_{i=0}^{101} \frac{x_i^3}{1-3x_i+3x_i^2}\]

9개의 원이 그림과 같이 삼각형 모양으로 배열되어 있다.

숫자 $1$, $2$, $\ldots$, $9$를 이들 원에, 다음과 같은 조건을 만족하되 중복되지 않도록 써 넣는다고 하자.

(i) 삼각형의 각 변의 4개의 숫자의 합은 모두 같다.

(ii) 삼각형의 각 변의 4개의 숫자의 제곱의 합은 모두 같다.

이 때, 가능한 모든 방법을 찾아라.

삼각형 $ABC$가 주어져 있다. 변 $BC$의 중점을 $M$, 꼭지점 $A$에서 그은 각의 이등분선이 변 $BC$와 만나는 점을 $N$이라 하자. $N$을 지나고 직선 $NA$와 수직인 직선이 직선 $MA$, $BA$와 만나는 점을 각각 $Q$, $P$라 하고, $P$를 지나고 직선 $BA$에 수직인 직선이 직선 $AN$과 만나는 점을 $O$라 할 때, 직선 $QO$와 $BC$가 수직임을 보여라.

$n>k$인 자연수 $n$, $k$에 대하여 다음 부등식을 증명하여라. \[ \frac{1}{n+1}\cdot \frac{n^n}{k^k (n-k)^{n-k}} < \frac{n!}{k! (n-k)!} < \frac{n^n }{ k^k (n-k)^{n-k}}\]

수열 $0$, $1$, $2$, $\ldots$, $n$으로 이루어진 순열 $(a_0,a_1,\ldots,a_n)$이 주어져 있다.
(순열 중에서 두 자리만 서로 바꾸는 것을 호환이라고 한다.)

$i>0$일 때 $a_i=0$이고 $a_{i-1}+1=a_j$이면 $a_i$와 $a_j$의 위치를 바꾸는 호환을 법정호환이라 하고, 순열 $(a_0,a_1,\ldots,a_n)$이 유한번의 법정호환에 의하여 순열 $(1,2,\ldots,n,0)$으로 변환할 수 있을 때 순열 $(a_0,a_1,\ldots,a_n)$을 정규순열이라고 한다. 순열 $(1,n,n-1,\ldots,3,2,0)$이 정규순열이 되는 $n$의 값을 모두 구하여라.

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