2003 아시아태평양수학올림피아드

제15회 아시아태평양수학올림피아드. 2003년 3월 18일.

출처

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다항식 $p(x)=x^8-4x^7+7x^6+ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f$가 여덟 개의 일차식 $x-x_i$들의 곱으로 인수분해된다고 하자. 이때, 가능한 $f$의 값을 모두 다 구하여라. 단, $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$는 실수이고, 각각의 $i=1,2,\ldots,8$에 대하여 $x_i$는 양의 실수이다.

평면위의 평행한 두 직선 $\ell_1$과 $\ell_2$ 사이의 거리를 $a$라 하자. 한 변의 길이가 $a$인 정사각형 판 $ABCD$를 두 변 $AB$, $AD$가 직선 $\ell_1$과 각각 $E$, $F$에서 만나고, 두 변 $CB$, $CD$가 직선 $\ell_2$와 각각 $G$, $H$에서 만나도록 평면 위에 놓을 때, 두 삼각형 $AEF$, $CGH$의 둘레의 길이를 각각 $m_1$, $m_2$라 하자. 이제 정사각형 판 $ABCD$를 조금 움직여도, 두 삼각형 $AEF$, $CGH$의 둘레의 길이의 합은 $m_1+m_2$로 일정함을 보여라.

각 정수 $k\ge 14$에 대하여, $p_k$를 $k$보다 작은 가장 큰 소수라고 하면 $p_k\ge 3k/4$임이 알려져 있다. 합성수 $n$에 대하여 다음을 보여라.

(a) $n=2p_k$이면 $n$은 $(n-k)!$의 약수가 될 수 없다.

(b) $n>2p_k$이면 $n$은 $(n-k)!$의 약수이다.

삼각형의 세 변의 길이 $a$, $b$, $c$가 $a+b+c=1$를 만족시킨다 하자. 임의의 자연수 $n\ge 2$에 대하여, 다음의 부등식을 증명하여라. \[ \sqrt[n]{a^n+b^n}+\sqrt[n]{b^n+c^n}+\sqrt[n]{c^n+a^n}<1+\frac{\sqrt[n]{2}}{2}\]

주어진 두 양의 정수 $m$, $n$에 대하여, 다음의 조건을 만족시키는 가장 작은 양의 정수 $k$를 구하여라.

조건: 임의의 $k$명이 모이면 그 중에는, 둘씩 서로 아는 사람끼리 $m$쌍의 커플을 만들 수 있는 $2m$명이 존재하거나, 둘씩 서로 모르는 사람끼리 $n$쌍의 커플을 만들 수 있는 $2n$명이 존재한다.

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