제16회 아시아태평양수학올림피아드. 2004년 3월 16일.
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$S$는 양의 정수의 집합이고 공집합이 아니고 유한한 집합이다. 다음 조건을 만족시키는 집합 $S$를 모두 구하시오.
조건: $S$의 모든 원소 $i$, $j$에 대하여 $\frac{i+j}{(i,j)}$는 항상 $S$의 원소이다.
여기서 $(i,j)$는 $i$와 $j$의 최대공약수이다.
예각 삼각형 $ABC$의 외심을 $O$, 수심을 $H$라고 하자. 삼각형 $AOH$, $BOH$, $COH$ 중 어떤 한 삼각형의 넓이는 다른 두 삼각형의 넓이의 합과 같음을 증명하시오.
평면 위에, 어느 세 점도 동일 직선 위에 있지 않은 2004개의 점으로 이루어진 집합 $S$를 생각하자. 이 집합 $S$의 서로 다른 두 점을 지나는 모든 직선의 집합을 $\mathcal L$이라 하자. 다음 조건을 만족시키도록 두 가지 이하의 색 만으로 $S$의 각 점을 칠할 수 있음을 증명하시오.
조건: $S$의 임의의 두 점 $p$, $q$에 대하여 $p$와 $q$ 사이를 가르는 $\mathcal L$의 직선들의 개수가 홀수일 필요충분조건은 $p$와 $q$가 같은 색인 것이다.
여기서 직선 $\ell$이 두 점 $p$, $q$를 가른다 함은 두 점 $p$, $q$의 어느 한 점도 $\ell$ 위에 있지 않고, $\ell$에 대하여 서로 반대쪽에 있다는 뜻이다.
실수 $x$에 대하여 $[x]$는 $x$를 넘지 않는 최대의 정수이다. 임의의 양의 정수 $n$에 대하여 다음 값이 짝수임을 보이시오.\[ \left[ \frac{(n-1)!}{n(n+1)}\right] \]
모든 실수 $a,b,c>0$에 대하여 다음 부등식이 성립함을 증명하시오. \[ (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\ge 9(ab+bc+ca)\]