2006 아시아태평양수학올림피아드

제18회 아시아태평양수학올림피아드. (2006년 3월)

출처

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주어진 양의 정수 $n$에 대하여, 다음 성질을 만족하는 음이 아닌 실수 $f(n)$의 최대값을 $n$으로 나타내어라: $a_1+a_2+\cdots+a_n$이 정수가 되는 임의의 실수 $a_1,a_2,\ldots,a_n$에 대하여, $\lvert a_i-\frac12\rvert\ge f(n)$를 만족하는 양의 정수 $i$가 반드시 존재한다.

모든 양의 정수는, 황금비 $\tau=\frac{1+\sqrt 5}{2}$의 서로 다른 거듭 제곱들의 합으로 표현할 수 있음을 보여라. (단, 황금비 $\tau$의 거듭 제곱이라 함은, 정수(양의 정수일 필요는 없음) $i$에 대하여 $\tau^i$ 꼴을 말한다.)

소수 $p$가 5 이상일 때, $p\times p$ 바둑판에 $p$개의 흰 바둑돌을 모두 같은 행에는 위치하지 않게 배열하는(단, $p$개의 흰 돌은 모두 같은 열에 위치할 수는 있다) 방법의 수를 $r$이라 하자. 정수 $r$은 $p^5$으로 나누어 떨어짐을 보여라. (단, 모든 흰 돌들은 구별이 되지 않는다고 가정한다.)

원 $O$ 위의 서로 다른 두 점 $A$, $B$에 대하여, 점 $P$를 선분 $AB$의 중점이라 하자. 선분 $AB$와는 점 $P$에서 접하고, 원 $O$와 접하는 원을 $O_1$이라 하자. 또한 점 $A$를 지나면서 $O_1$에 접하는 $AB$가 아닌 직선을 $\ell$이라 하자. 직선 $\ell$과 원 $O$의 교점 가운데 $A$가 아닌 점을 $C$라 하자. 점 $Q$를 선분 $BC$의 중점이라 두고, 직선 $BC$와 $Q$에서 접하면서 선분 $AC$에 접하는 원을 원을 $O_2$라 할 때, 원 $O_2$는 원 $O$에도 접함을 보여라.

서울 서커스 단에는 12개의 서로 다른 색 가운데 몇 개의 색을 칠하여 서로 서로를 구별하는 $n$명의 광대가 활동하고 있다. 각각의 광대는 적어도 5개의 서로 다른 색을 사용하도록 되어 있다고 한다. 어느날, 이 서커스의 단장은 어느 두 광대도 사용한 색들의 집합이 서로 같을 수 없고, 12개의 색 가운데 어느 색도 20명 이하가 사용해야 한다고 명령하였다. 단장의 명령이 가능할 수 있는 광대의 수 $n$의 최대값을 구하여라.

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