제19회 아시아태평양수학올림피아드 (2007년 3월 13일)
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집합 $S$는 3보다 큰 소수를 약수로 가지지 않는 9개의 서로 다른 정수들로 이루어져 있다. 이때, 집합 $S$는 항상 다음의 조건을 만족하는 3개의 서로 다른 정수를 원소로 가지고 있음을 보여라:
(조건) 세 정수의 곱은 완전 세 제곱수이다.
삼각형 $ABC$는 예각삼각형으로 $\angle BAC=60^\circ$이고 $AB>AC$이다. 삼각형 $ABC$의 내심을 $I$, 수심을 $H$라 할 때, $2\angle AHI=3\angle ABC$임을 보여라.
평면 상에 다음과 같이 배열된 $n$개의 원판 $C_1$, $C_2$, $\ldots$, $C_n$을 생각하자: 각 $i=1,2,\ldots,n-1$에 대하여 $C_i$의 중심은 $C_{i+1}$의 원주 위에 있고, 끝으로 $C_n$의 중심은 $C_1$의 원주 위에 있다. 이러한 원판 $n$개의 배열에 대하여, $C_j\subsetneq C_i$를 만족하는 순서쌍 $(i,j)$의 개수를 그 배열의 점수라고 정의하자. 이때, 위와 같은 원판 $n$개의 배열이 취할 수 있는 점수의 최대값을 구하여라.
조건 $\sqrt x+\sqrt y+\sqrt z=1$을 만족하는 양의 실수 $x$, $y$, $z$에 대하여, 다음의 부등식을 증명하여라: \[ \frac{x^2+yz}{\sqrt{2x^2(y+z)}}+\frac{y^2+zx}{\sqrt{2y^2(z+x)}}+\frac{z^2+xy}{\sqrt{2z^2(x+y)}}\ge 1.\]
$5\times 5$-체스판 모양의 전구판을 생각하자. 25개의 전구가 각 칸에 놓여 있고 전구마다 스위치가 있다. 전구판이 고장이 나서, 한 전구의 스위치를 누르면, 그 전구의 상태가 바뀔 뿐만 아니라, 같은 행, 같은 열에 있는 이웃 전구들의 상태도 같이 바뀐다. 다른 전구들의 상태는 바뀌지 않는다. 상태가 바뀐다는 것은 켜져 있던 전구는 꺼지고, 꺼져 있던 전구는 켜진다는 의미인다. 처음엔 모든 전구가 꺼져 있다고 가정하자. 이제 스위치를 유한 번 눌러서 단 한 개의 전구만 켜진 상태로 만들려고 한다. 이러한 전구의 (즉, 유일하게 켜진 전구의) 가능한 위치를 모두 구하여라.