2009 아시아태평양수학올림피아드

2009년 3월

출처

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칠판에 적힌 양의 실수들에 대한 다음의 ‘작업’을 생각하자: ‘칠판 위에 적힌 숫자들 중 하나를 선택하여(선택된 수를 $r$이라 하자), 그 수를 지우고, 대신 $2r^2=ab$를 만족시키는 두 양의 실수 $a$, $b$를 칠판에 적는다.’

칠판에 적힌 숫자가 $r$ 하나 뿐인 상태에서 위의 작업을 $k^2-1$번 시행하였다고 할 때, 칠판에 적힌 $k^2$개의 숫자들 중에는 $kr$보다 크지 않은 숫자가 존재함을 보여라. (단, $k^2$개의 숫자들이 다 다를 필요는 없다.)

실수 $a_1$, $a_2$, $a_3$, $a_4$, $a_5$가 다음의 방정식들을 만족시킨다고 하자: 각 $k=1,2,3,4,5$에 대하여 \[ \frac{a_1}{k^2+1}+\frac{a_2}{k^2+2}+\frac{a_3}{k^2+3}+\frac{a_4}{k^2+4}+\frac{a_5}{k^2+5}=\frac1{k^2}.\]이때 $\frac{a_1}{37}+\frac{a_2}{38}+\frac{a_3}{39}+\frac{a_4}{40}+\frac{a_5}{41}$의 값을 구하여라. (단, 하나의 분수로 그 값을 구할 것.)

서로 바깥에 있는 평면 위의 세 원 $\Gamma_1$, $\Gamma_2$, $\Gamma_3$을 생각하자. 세 원 모두의 바깥에 있는 평면 위의 한 점 $P$에 대하여 여섯 개의 점 $A_1$, $B_1$, $A_2$, $B_2$, $A_3$, $B_3$은 다음의 조건을 만족시키는 점들이다: 각 $i=1,2,3$에 대하여, 점 $A_i$와 $B_i$는 원 $\Gamma_i$ 위의 서로 다른 점이고, 직선 $PA_i$와 $PB_i$는 원 $\Gamma_i$에 접한다. 여기서 세 직선 $A_1B_1$, $A_2B_2$, $A_3B_3$이 한 점에서 만날 경우 점 $P$를 `정점’이라고 부르자. 이러한 정점들은, 존재한다면, 모두 한 원 위에 있음을 보여라.

임의로 주어진 양의 정수 $k$에 대하여, 아래 두 조건을 만족시키는 유리수 등차수열 \[ \frac{a_1}{b_1}, \frac{a_2}{b_2}, \cdots, \frac{a_k}{b_k}\]가 존재함을 보여라.

(i) 각 $i=1,2,\ldots,k$에 대하여 $a_i$와 $b_i$는 서로 소인 양의 정수이고,
(ii) $a_1$, $b_1$, $a_2$, $b_2$, $\ldots$, $a_k$, $b_k$는 모두 서로 다르다.

준엽과 잔디는 평면 위의 $A$ 지점에서 $B$ 지점으로 자동차를 타고 이동하려고 하는데 자동차에는 운전대가 둘이 있어서 각자 하나씩 잡고 다음의 규칙에 따라 운전한다: 출발 후, 준엽은 매 $\ell$ 킬로미터마다 좌회전을 하고 잔디는 매 $r$ 킬로미터마다 우회전을 한다. 그러나, 준엽과 잔디가 동시에 각각 좌회전과 우회전을 해야 하는 경우에는 그냥 직진하기로 한다. 단, $\ell$과 $r$은 서로 소인 양의 정수이고, 자동차는 평면 위에서 어디든 갈 수 있으며, 출발 후나 좌회전 또는 우회전 후에 항상 직진한다고 가정한다.

자동차가 $A$ 지점에서 $B$ 지점을 향해 출발한다고 할 때, 두 지점 사이의 거리에 관계없이 준엽과 잔디가 운전하는 자동차가 $B$ 지점에 도착하게 되는 경우의 쌍 $(\ell,r)$을 모두 구하여라.

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