2012 아시아태평양수학올림피아드

2012년 3월 13일(화)에 실시된 제24회 아시아태평양수학올림피아드(APMO, Asia Pacific Mathematical Olympiad)에서 우리나라가 37개 참가국 중 1위를 하였습니다.

이번 대회에서는 총 5문제(시험시간 4시간, 각 문제당 7점 만점)가 출제되었으며, 나라별 순위는 각 나라의 참가자 중 상위 10명의 성적으로 결정되었습니다.

우리나라는 상위 10명의 평균성적이 33.3점으로 1위를 하였으며, 2위는 미국(28.3점), 3위는 태국(27.9점), 4위는 러시아(24.9점), 5위는 일본(24.1점)이 차지하였습니다.

우리나라 학생 58명이 참가한 이번 대회의 수상결과는 아래와 같습니다.

금상(Gold Award) : 박태환(서울과학고 3)
은상(Silver Award) : 강승연(서울과학고 2), 박성진(서울과학고 2)
동상(Bronze Award) : 김동효(서울과학고 3), 김재중(서울과학고 3), 문한울(세종과학고 2), 정종욱(서울신천중 3)
명예상(Honorable Mention) : 기도형(서울과학고 3), 신승원(서울과학고 3), 정인성(서울과학고 3)

결과 출처

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삼각형 $ABC$의 내부의 점 $P$에 대하여, 직선 $AP$와 변 $BC$의 교점을 $D$, 직선 $BP$와 변 $CA$의 교점을 $E$, 직선 $CP$와 변 $AB$의 교점을 $F$라 하자. 세 삼각형 $PFA$, $PDB$, $PEC$의 넓이가 각각 $1$일 때, 삼각형 $ABC$의 넓이는 $6$임을 보여라.

(2012년 3월)

가로, 세로 각각 2012개의 정사각형 칸으로 이루어진 표의 각 칸에 0이상 1이하의 실수들을 하나씩 적어 넣는다. 이 표를 가로선 혹은 세로선(가장자리 가로선, 세로선은 제외)을 따라 두 개의 직사각형 꼴의 표로 나눈다고 할 때, 어떤 방법으로 나누든, 둘 중 적어도 한 쪽의 직사각형 표에 들어 있는 모든 칸에 적힌 실수들의 합이 1이하가 되도록 적어 넣는다고 하자. 바둑판의 모든 칸에 적힌 실수들의 합이 취할 수 있는 최댓값을 구하여라.

(2012년 3월)

소수 $p$와 양의 정수 $n$에 대하여 $\frac{n^p+1}{n+1}$이 정수가 되도록 하는 순서쌍 $(p,n)$을 모두 구하여라.

(2012년 3월)

예각삼각형 $ABC$의 수심을 $H$, 꼭지점 $A$에서 변 $BC$에 내린 수선의 발을 $D$, 변 $BC$의 중점을 $M$이라 하자. 삼각형 $ABC$의 외접원 $\Gamma$와 반직선 $MH$의 교점을 $E$라 하고, 외접원 $\Gamma$와 직선 $ED$의 교점을 $F(\neq  E)$라 할 때, 다음의 등식을 증명하여라. \[ \frac{BF}{CF}= \frac{AB}{AC}.\]

(2012년 3월)

정수 $n(\ge 2)$에 대하여, 실수 $a_1, a_2, \ldots, a_n$이 $a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2=n$을 만족시킨다고 할 때, 다음 부등식이 성립함을 증명하여라. \[\sum_{1\le i<j\le n} \frac{1}{n-a_i a_j} \le \frac{n}{2}.\]

(2012년 3월)

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