2013 아시아태평양수학올림피아드

2013년 3월 12일(화)에 실시된 제25회 아시아태평양수학올림피아드(APMO, Asia Pacific Mathematical Olympiad)에서 우리나라가 34개 참가국 중 1위를 하였습니다.

총 5문제(시험시간 4시간, 각 문제당 7점 만점). 나라별 순위는 각 나라의 참가자 중 상위 10명의 성적으로 결정

우리나라는 상위 10명의 평균성적이 35점으로 러시아, 미국과 함께 공동 1위(러시아 35점, 미국 35점)를 차지하였으며 4위는 태국(31.3점), 5위는 대만(28.8점)

우리나라 학생 67명이 참가한 이번 대회의 수상결과는 아래와 같습니다.

금상(Gold Award) : 이유성(장흥중 2)
은상(Silver Award) : 김주한(옥천고 2), 이종원(민족사관고 3)
동상(Bronze Award) : 김민혁(서울과학고 1), 백승윤(서울광남중 2), 주정훈(서현중 2), 한기현(서울과학고 1)
명예상(Honorable Mention) : 송영근(서울과학고 1), 정종욱(서울과학고 1), 황인재(서울과학고 2)

올해 APMO에서는 문제가 쉽게 출제되어 만점자가 많이 나왔습니다. 한국은 총 23명의 만점자가 나왔고, 미국과 러시아도 만점자가 10명 이상 나왔습니다. 규정에 의하면, 상위 10명만을 순위를 정해 주최국에 보고하도록 되어 있습니다. 결국 이번 APMO에서는 만점을 받았으나 아무런 상을 받지 못하는 학생들이 생기는 안타까운 상황입니다.

결과 출처

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예각삼각형 $ABC$의 점 $A$, $B$, $C$에서 내린 수선의 발을 $D$, $E$, $F$라 하고 외심을 $O$라 하자. 이때 선분 $OA$, $OF$, $OB$, $OD$, $OC$, $OE$는 삼각형 $ABC$를 넓이가 같은 삼각형 3쌍으로 쪼갠다는 것을 증명하라.
(2013년 3월 12일, 4시간, 출처)

$\frac{n^2+1}{[\sqrt{n}]^2+2}$이 정수가 되는 양의 정수 $n$을 모두 구하여라. 단 $[r]$은 $r$보다 크지 않은 최대의 정수이다.
(2013년 3월 12일, 4시간, 출처)

총 $2k$개의 실수 $a_1,a_2,\ldots,a_k,b_1,b_2,\ldots,b_k$에 대해 수열 $X_n$을 \[ X_n=\sum_{i=1}^k [a_i n+b_i] \quad (n=1,2,\ldots)\]처럼 정의하자. 이때 $X_n$이 등차수열을 이룬다면, $\sum_{i=1}^k a_i$는 반드시 정수임을 증명하라. 단 $[r]$은 $r$보다 크지 않은 최대의 정수이다.
(2013년 3월 12일, 4시간, 출처)

양의 정수 $a$, $b$에 대해 정수의 유한집합 $A$, $B$가 다음 조건을 만족한다고 하자.
(i) $A$와 $B$의 교집합은 공집합이다.
(ii) 어떤 정수 $i$가 $A$나 $B$의 원소이면, $i+a$가 $A$의 원소이거나, $i-b$가 $B$의 원소이다.
이때 $a\lvert A\rvert=b\lvert B\rvert$임을 증명하라. (단, $\lvert X\rvert$는 집합 $X$의 원소의 갯수이다.)
(2013년 3월 12일, 4시간, 출처)

원 $\omega$에 내접하는 삼각형 $ABCD$의 대각선 $AC$를 연장한 직선 위에 어떤 점 $P$가 있어서 직선 $PB$와 $PD$가 원 $\omega$에 접한다고 한다. 원 $\omega$의 점 $C$에서의 접선이 직선 $PD$와 만나는 점을 $Q$라 하고 직선 $AD$와 만나는 점을 $R$이라 하자. 직선 $AQ$와 원 $\omega$가 만나는 $A$ 아닌 점을 $E$라 하자. 이때 점 $B$, $E$, $R$이 한 직선 위에 있음을 보여라.
(2013년 3월 12일, 4시간, 출처)

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