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삼각형 $ABC$의 변 $BC$ 위에 점 $D$가 있다. 점 $D$를 지나고 변 $AB$와 점 $X$에 만나는 직선이 반직선 $AC$와 점 $Y$에서 만난다. 삼각형 $BXD$의 외접원이 삼각형 $ABC$의 외접원 $\omega$와 점 $Z$($\neq B$)에서 만난다. 직선 $ZD$와 직선 $ZY$가 원 $\omega$와 각각 점 $V$, 점 $W$에서 다시 만난다고 하자. 이때 $AB=VW$임을 증명하라.
$2$보다 크거나 같은 정수의 집합 $S=\{2,3,4,\ldots\}$가 있다. 이때 다음 조건을 만족하는 함수 $f:S\to S$가 존재하는가?
모든 $a,b\in S$, $a\neq b$에 대해 $f(a)=f(b)=f(a^2 b^2)$이다.
다음 세 조건을 동시에 만족하는 실수의 수열 $a_0,a_1,a_2,\ldots$을 좋다고 하자.
(i) $a_0$는 양의 정수이다.
(ii) 음 아닌 정수 $i$에 대해 $a_{i+1}=2a_i+1$이거나 $a_i=\frac{a_i}{a_i+2}$이다.
(iii) $a_k=2014$가 되는 양의 정수 $k$가 존재한다.
이때 $a_n=2014$인 실수의 좋은 수열 $a_0,a_1,\ldots$이 존재할 최소의 양의 정수 $n$을 구하여라.
양의 정수 $n$이 주어져있다. 평면 위에 $2n$개의 서로 다른 직선이 있는데 임의의 두 직선도 서로 평행하지 않다고 한다. 이 중 $n$개는 파랑색이고 나머지 $n$개는 빨강색이다. 하나 이상의 파란 직선 위에 있는 평면의 모든 점의 집합을 $\mathbb B$라 하고, 하나 이상의 빨간 직선 위에 있는 평면의 모든 점의 집합을 $\mathbb R$이라 하자. 이때 $\mathbb B$의 점 정확히 $2n-1$개를 지나고 $\mathbb R$의 점도 정확히 $2n-1$개를 지나는 원이 존재함을 보여라.
양의 정수의 수열 $a_0,a_1,a_2,\ldots$ 중 $a_0\ge 2015$이면서 모든 정수 $n\ge 1$에 대해 아래 두 조건을 만족시키는 수열을 모두 구하여라.
(i) $a_{n+2}$은 $a_n$의 배수이다.
(ii) $s_n=a_{n+1}-a_n+a_{n-1}-\cdots+(-1)^{n+1}a_0$일 때, $\lvert s_{n+1}-(n+1)a_n\rvert=1$이다.