4시간동안 5문제. 2016년 3월.
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다음 조건을 만족하는 삼각형 $ABC$를 좋다고 하자: 변 $BC$ 위의 임의의 점 $D$에서 직선 $AB$, $AC$로 내린 수선의 발이 각각 $P$, $Q$라고 할 때 $D$를 직선 $PQ$에 대칭시켜 얻은 점은 항상 삼각형 $ABC$의 외접원 위에 있다.
삼각형 $ABC$가 좋을 필요충분조건은 $\angle A=90^\circ$이면서 $AB=AC$임을 보여라.
어떤 양의 정수를 음 아닌 정수 $a_1,a_2,\ldots,a_{100}$에 의해 \[ 2^{a_1}+2^{a_2}+\cdots+2^{a_{100}}\]꼴로 나타낼 수 있을 때 그 수를 멋있다고 하자. (단, $a_1,a_2,\ldots,a_{100}$끼리는 서로 같을 수도 있다.)
이때, 모든 $n$의 배수가 멋있지 않은 최소의 양의 정수 $n$을 찾아라.
같은 직선 위에 있지 않은 두 반직선 $AB$와 $AC$가 있다. 중심이 $O$인 어떤 원 $\omega$가 반직선 $AC$, $AB$와 각각 $E$, $F$에서 접한다. 선분 $EF$ 위의 어떤 점을 $R$이라 하자. 점 $O$를 지나고 $EF$에 평행한 직선이 직선 $AB$와 만나는 점을 $P$라 하자. 직선 $PR$과 $AC$의 교점을 $N$이라 하고 점 $R$을 지나며 직선 $AC$에 평행한 직선이 직선 $AB$와 만나는 점을 $M$이라 하자. 이때 $MN$이 원 $\omega$에 접함을 증명하라.
드림랜드라는 나라는 2016개의 도시가 있다. 별항공사에서는 어떤 두 도시를 한 방향으로 연결하는 편도 항공편을 여러개 개설하고자 하는데, 각 도시에 정확히 하나의 항공편만 나가는 편으로 만들고자 한다. 별항공사에서 어떻게 항공편을 위 조건을 만족하게 만들더라도 도시들을 $k$개의 그룹으로 잘 나누어서 같은 그룹 내에 속한 두 도시 사이에서는 28개 이내의 항공편을 가지고는 절대 도달할 수 없도록 하는 것이 가능한 최소의 $k$ 값을 구하여라.
모든 양의 실수 $x$, $y$, $z$에 대해 \[ (z+1)f(x+y)=f(xf(z)+y) +f(yf(z)+x)\]가 성립하는 함수 $f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+$를 모두 구하여라.