제29회 아시아태평양수학올림피아드.
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어떤 다섯 개의 정수를 적당한 순서로 나열하여 $a$, $b$, $c$, $d$, $e$라 하였을 때 $a-b+c-d+e=29$가 되게 할 수 있으면 이 다섯 개의 정수를 잘 배열할 수 있다고 하자. 원 주변에 시계 방향으로 2017개의 정수 $n_1$, $n_2$, $\ldots$, $n_{2017}$을 순서대로 썼더니, 원 위에서 연속한 어느 5개의 정수를 보더라도 잘 배열할 수 있다고 한다. 이러한 정수의 수열 $n_1$, $n_2$, $\ldots$, $n_{2017}$을 모두 구하라.
변 $AB$의 길이가 변 $AC$의 길이보다 짧은 삼각형 $ABC$의 각 $BAC$의 내각의 이등분선과 외접원이 만나는 $A$ 아닌 점을 $D$라 하자. 변 $AC$의 수직이등분선과 각 $BAC$의 외각의 이등분선의 교점을 $Z$라 하자. 이때 선분 $AB$의 중점이 삼각형 $ADZ$의 외접원 위에 있음을 보여라.
양의 정수의 수열 $a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_k$ 중 $a_1+ \cdots + a_k = n$이고 모든 $i=1,2,\ldots, k$에 대해 $a_i+1$이 $2$의 거듭제곱꼴인 수열의 개수를 $A(n)$이라 하자. 양의 정수의 수열 $b_1 \geq b_2 \geq \cdots \geq b_m$ 중 $b_1+ \cdots + b_m = n$ 이고 모든 $j=1,2,\ldots,m-1$에 대해 $b_j \geq 2b_{j+1}$인 수열의 개수를 $B(n)$이라 하자. 이때, 모든 양의 정수 $n$에 대하여 $A(n)=B(n)$임을 보여라.
어떤 유리수 $r$을 서로소인 두 양의 정수 $p$, $q$와 $1$보다 큰 정수 $k$에 대해 $r=\frac{p^k}{q}$ 꼴로 쓸 수 있으면 $r$을 강력한 수라 하자. 만일 $abc=1$인 세 양의 유리수 $a$, $b$, $c$에 대해 $a^x+b^y+c^z$가 정수가 되는 양의 정수 $x$, $y$, $z$가 존재한다고 하자. 이때 $a$, $b$, $c$ 모두 강력한 수임을 보여라.
양의 정수 $n$이 주어져 있다. 각각 정수 $n$개로 구성된 두 수열 $(a_1,a_2,\ldots,a_n)$과 $(b_1,b_2,\ldots,b_n)$이 \[\lvert a_1b_1+\cdots+a_nb_n\rvert \le 1\]을 만족하면 그 두 수열을 잘 어울리는 쌍이라고 하자.
정수 $n$개로 구성된 서로 다른 수열 $m$개를 모았더니 어느 두 수열을 보더라도 잘 어울리는 쌍이 된다고 한다. 이때 $m$ 값의 최댓값을 구하라.