2013 Baltic Way 팀수학경시대회

출처
2013년 11월 9일
4시간 30분.

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양의 정수 $n$이 있다. 다음 표 \[ \begin{matrix} 0 & 1 & \cdots & n-1\\ n & n+1 &\cdots & 2n-1\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ (n-1)n & (n-1)n+1 & \cdots & n^2-1\end{matrix}\]에서 같은 행이나 같은 열에서 두 개 이상의 수를 뽑지 않으면서 총 $n$개의 수를 뽑는다고 하자. 이때 그 수를 곱해서 나올 수 있는 수의 최대값을 구하여라.

양의 정수 $k$, $n$이 있다. 서로 다른 정수 $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_k$, $y_1$, $y_2$, $\ldots$, $y_n$이 있다. 정수 계수 다항식 $P$가 \[ P(x_1)=P(x_2)=\cdots = P(x_k)=54\]이면서 \[ P(y_1)=P(y_2)=\cdots=P(y_n)=2013\]이라고 한다. 이때 $kn$이 가질 수 있는 값의 최대값을 구하여라.

실수의 집합을 $\mathbb{R}$이라 하자. 이때, 모든 $x,y\in \mathbb{R}$에 대해 \[ f(xf(y)+y)+f(-f(x))=f(yf(x)-y)+y\]를 만족시키는 모든 함수 $f:\mathbb R\to \mathbb R$을 구하여라.

모든 양의 실수 $x$, $y$, $z$에 대해 부등식 \[ \frac{x^3}{y^2+z^2}+\frac{y^3}{z^2+x^2}+\frac{z^3}{x^2+y^2}\ge \frac{x+y+z}{2}\]이 성립함을 보여라.

수 $0$과 $2013$이 정육면체의 맞은 편 꼭짓점에 적혀있다. 남은 6개 꼭지점 각각에는 어떤 실수가 적혀있다. 이 정육면체의 모든 모서리에서 그 양 끝 꼭짓점에 적힌 수의 차이를 적었다. 이때 모서리에 적힌 수의 제곱의 합이 최소가 되는 때는 언제인가?

산타클로스가 $n$명의 어린이들을 위해 $n$개 이상의 서로 다른 선물을 준비하였다. 모든 $i\in\{1,2,\ldots,n\}$에 대해, $n$번째 어린이는 이 선물 중 $x_i\lt 0$개를 좋아한다고 하자. 만일 \[\frac{1}{x_1}+\cdots+\frac1{x_n}\le 1\]이면, 산타클로스는 모든 어린이에게 그 어린이가 좋아하는 선물 하나를 줄 수 있음을 보여라.

칠판에 양의 정수 하나가 적혀있다. 두 사람 $A$, $B$가 다음과 같은 게임을 한다. $A$부터 시작하며, 각자 돌아가면서 자기 차례가 되면 칠판에 적혀있는 수 $n$의 약수 $m$ 중 $1\lt m\lt n$인 것을 하나 골라서 $n$을 $n-m$으로 바꿔서 쓴다. 더 이상 이 작업을 할 수 없는 사람이 진다고 한다. 처음에 어떤 수가 적혀 있을때 $B$의 필승전략이 존재하겠는가?

어느 온천에는 $n$개의 방이 있는데 각 방에 인원 제한은 없다고 한다. 각 방에는 남자와 여자가 동시에 들어갈 수는 없으며, 남자들은 서로 모르는 남자들하고만 같은 방을 쓰고자 하고, 여자들은 서로 아는 여자들하고만 같은 방을 쓰고자 한다. $k$쌍의 부부가 온천에 함께 가서 방에 규칙에 맞게 들어갈 수 있을 최대의 수 $k$를 구하여라. 단 남편끼리 서로 알면 부인끼리도 서로 알며 반대로 부인끼리 서로 알면 남편끼리도 서로 안다.

어느 나라에 $2014$개의 공항이 있는데 어느 세 개 공항도 한 직선 위에 있지는 않다고 한다. 어느 두 공항을 지나는 직선이 그 나라의 공항을 정확히 $1006$개씩 가진 영역 둘로 나눈다고 할 때 그 두 공항 사이에 직항 항공편이 있다고 한다. 이 때 어떤 공항에서 시작해서 항공편을 이용하여 모든 공항을 정확히 한 번씩 지나고 다른 공항에 도착할 수 있는 방법은 존재하지 않음을 보여라.

흰색 정사각형을 각 변에 평행한 직선들로 잘라서 $n^2$개의 합동인 작은 삼각형으로 나누었다. 이웃한 평행한 두 직선 사이에 끼어있는 삼각형들을 “삼각형의 선”이라고 하자. 특히 큰 삼각형의 꼭지점에 붙어있는 작은 삼각형은 혼자서 삼각형의 선이 된다.
다음에 정해진 작업을 적당한 순서로 시행해서 모든 작은 삼각형을 검정색으로 칠하고자 한다.
적어도 하나의 흰색 삼각형이 포함된 삼각형의 선을 하나 골라서 거기 있는 모든 삼각형을 검정색으로 칠한다. (아래 그림에서 n=6인 상황에서 4번 시행한 후의 상황이 표시되어 있다. 여기서 화살표는 그 다음에 시행을 할 수 있는 위치를 표시한 것이다.)
이때, 가능한 시행의 횟수의 최솟값과 최댓값을 구하여라.bwExam2013

예각삼각형 $ABC$가 $AC\lt AB$를 만족한다. 점 $A$에서 $BC$로 내린 수선의 발을 $D$라 하고, 점 $D$에서 $AB$, $AC$로 내린 수선의 발을 각각 $E$, $F$라 하자. 직선 $AD$와 $EF$가 만나는 점을 $G$라 하고 직선 $AD$와 삼각형 $ABC$의 외접원이 다시 만나는 점을 $H$라 하자. 이때 \[ AG \cdot AH=AD^2\]임을 증명하라.

변 $AB$와 $CD$가 평행한 평행사변형 $ABCD$에서 삼각형 $BCD$의 외접원이 직선 $AD$와 점 $E$($\neq A, D$)에서 만난다. 이때, 삼각형 $ABE$의 외접원은 직선 $BC$에 접한다는 것을 보여라.

어떤 정육면체의 모든 면이 직각삼각형이고 모서리 중 3개는 그 길이가 정확히 $s$로 같았다고 한다. 이때, 이 정육면체의 부피를 구하여라.

반지름의 길이가 같은 두 원 $\alpha$, $\beta$가 두 점에서 만나는데, 그 중 한 점을 $P$라 하자. 점 $P$를 $\alpha$, $\beta$의 중심으로 대칭시켜 얻은 점을 각각 $A$, $B$라 하자. 역시 같은 반지름을 가지는 원이 $P$를 지나고 $\alpha$, $\beta$와 점 $X$, $Y$에서 만난다. 이때 직선 $XY$는 직선 $AB$와 평행함을 보여라.

평면 위의 중심이 같은 $4$개의 원의 반지름은 단조증가하는 등차수열을 이룬다고 한다. 이때 서로 다른 원에서 한 꼭지점씩 뽑아서는 절대 정사각형을 만들 수 없음을 보여라.

어떤 정수 $k$가 존재하여 $1\lt k\lt n$이면서 \[ 1+2+\cdots+(k-1)=(k+1)+(k+2)+\cdots +n \]가 될 때 양의 정수 $n$을 좋은 수라고 부르자. 이때 다음 부등식을 만족시키는 좋은 수 $N$이 존재하는가? \[ 2013^{2013} \lt \frac{N}{2013^{2013}} \lt 2013^{2013}+4\]

두 양의 정수 $n\lt c$가 있다. 선생님이 칠판에 총 $n$개의 양의 정수를 썼다. 모든 $n$, $c$에 대해 학생이 항상 선생님이 써준 정수를 적당한 순서로 잘 섞어 $a_1,a_2,\ldots,a_n$라고 이름을 붙여서 식 \[ (a_1-a_2)\cdot (a_2-a_3)\cdots (a_{n-1}-a_n)\cdot (a_n-a_1)\]을 곱했을 때 나오는 수를 $n$으로 나눈 나머지가 항상 $0$이나 $c$가 되게 할 수 있는가?

식 $y^3-1=x^4+x^2$을 만족시키는 정수의 순서쌍 $(x,y)$를 모두 구하여라.

양의 정수 $a_0$과 모든 양의 정수 $n\ge 1$에 대해 $a_n=5a_{n-1}+4$라 한다. 이때 $a_{54}$가 $2013$의 배수가 되도록 $a_0$을 고를 수 있겠는가?

모든 계수가 음 아닌 정수인 다항식 $f$ 중에 아래 성질을 만족하는 것을 모두 찾아라.
모든 소수 $p$와 양의 정수 $n$에 대하여 $f(p^n)=f(q^m)$이 되는 어떤 소수 $q$와 양의 정수 $m$이 존재한다.

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