2014년 11월 8일.
4시간 30분.
출처

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다음을 증명하라. \[ \cos(56^\circ) \cdot \cos(2\cdot 56^\circ) \cdot \cos(2^2\cdot 56^\circ)\cdot\cdots\cdot \cos(2^{23}\cdot 56^\circ)=\frac{1}{2^{24}}.\]

실수의 수열 $a_0,a_1,\ldots,a_N$이 $a_0=a_N=0$이면서 모든 $i=1,2,\ldots,N-1$에 대하여 \[ a_{i+1}-2a_i+a_{i-1}=a_i^2\]이라고 한다. 이때 모든 $i=1,2,\ldots,N-1$에 대해 $a_i\le 0$임을 증명하라.

양의 실수 $a$, $b$, $c$가 $\frac1a+\frac1b+\frac1c=3$을 만족한다. 이때 다음 부등식을 증명하라. \[ \frac1{\sqrt{a^3+b}}+\frac1{\sqrt{b^3+c}}+\frac1{\sqrt{c^3+a}}\le \frac{3}{\sqrt{2}}.\]

실수 집합 위에서 정의된 실수 값을 가진 함수 $f$ 중 모든 실수 $x$, $y$에 대하여 다음 식을 만족하는 것을 모두 구하여라. \[ f(f(y))+f(x-y)=f(xf(y)-x).\]

양의 실수 $a$, $b$, $c$, $d$가 두 등식 $a^2+d^2-ad=b^2+c^2+bc$와 $a^2+b^2=c^2+d^2$을 만족시킨다. 이때 $\frac{ab+cd}{ad+bc}$가 가질 수 있는 가능한 값을 모두 구하여라.

일렬로 나열되어 있는 16개의 의자 각각을 빨강이나 녹색으로 칠하되 연속으로 같은 색으로 칠해진 의자 수는 항상 홀수가 되게 칠하는 방법의 수를 구하여라.

수 $1$, $2$, $\ldots$, $30$의 순열을 $p_1$, $p_2$, $\ldots$, $p_{30}$이라 할 때, \[ \sum_{k=1}^{30} \lvert p_k-k\rvert=450\]이 되는 순열의 수를 구하여라.

철수와 영희가 돌아가면서 아래와 같은 게임을 한다. 처음에는 빨강 바구니에 총 100개의 파랑공이, 파랑 바구니에 총 100개의 빨강공이 있었다. 각자의 차례가 되면 아래 세 작업 중 하나를 할 수 있다.
a) 파랑 바구니에서 2개의 빨강공을 뽑아서 빨강 바구니로 옮긴다.
b) 빨강 바구니에서 2개의 파랑공을 뽑아서 파랑 바구니로 옮긴다.
c) 한 바구니에서 서로 다른 색의 두 공을 뽑아서 버린다.
처음 철수부터 시작하여 위와 같이 돌아가면서 게임을 한다고 하자. 파랑 바구니에서 마지막 빨강공을 뽑거나, 빨강 바구니에서 마지막 파랑공을 뽑는 사람이 진다고 할 때 철수와 영희 중 필승전략을 가진 사람은 누구인가?

가로 $n$칸, 세로 $n$칸의 바둑판의 몇몇 칸에 표시를 하는데, 모든 $m\lt \frac{n}{2}$에 대해 임의의 가로 $m$칸, 세로 $m$칸의 부분으로 만들어진 부분바둑판의 두 대각선이 모두 표시된 칸을 포함하도록 하고 싶다. 표시할 칸의 수의 최소값을 구하여라.

어느 나라에 총 $100$개의 공항이 있다. 슈퍼항공사는 몇몇 도시의 쌍 사이를 양방향으로 이동하는 항공편을 운영한다. 어느 공항에서 슈퍼항공사 항공편으로 갈아타지 않고 갈 수 있는 다른 공항의 수를 그 공항의 트래픽이라고 부르자.
새로운 항공사인 콘항공사가 서로 다른 두 공항 사이를 직항편으로 연결할 필요충분조건은 그 두 공항의 트래픽의 합이 $100$이상일때라고 한다. 알고 보니 콘항공사 항공편만을 이용하여 모든 공항을 정확히 한 번씩 들리고 원래 위치로 되돌아오는 방법이 있었다고 한다. 이때, 슈퍼항공사 항공편만을 이용하여 모든 공항을 정확히 한 번씩 들리고 원래 공항으로 되돌아오는 방법도 존재함을 보여라.

예각삼각형 $ABC$의 외접원을 $\Gamma$라 하자. 점 $C$에서 변 $AB$로 내린 수선이 $AB$와 만나는 점을 $D$, $\Gamma$와 다시 만나는 점을 $E$라 하자. 각$C$의 이등분선이 $AB$와 만나는 점을 $F$, $\Gamma$와 다시 만나는 점을 $G$라 하자. 직선 $GD$가 $\Gamma$와 다시 만나는 점을 $H$라 하고, 직선 $HF$가 $\Gamma$와 다시 만나는 점을 $I$라 하자. 이때 $AI=EB$임을 증명하라.

주어진 삼각형 $ABC$의 변 $AB$의 중점을 $M$이라 하고, 외접원에서 $A$를 포함하지 않는 원호 $BC$의 중점을 $T$라 하자. 삼각형 $ABC$의 내부의 점 $K$가 있어서 $AT$와 $MK$가 평행한 이등변 사다리꼴 $MATK$가 생긴다고 하자. 이때 $AK=KC$임을 증명하라.

원 $\omega$에 내접한 정사각형 $ABCD$가 있고, $\omega$의 짧은쪽 원호 $AB$ 위에 있는 점 $P$가 있다. 직선 $CP$와 $BD$가 만나는 점을 $R$, 직선 $DP$와 $AC$가 만나는 점을 $S$라 하자. 이때 삼각형 $ARB$와 $DSR$의 넓이가 같음을 보여라.

볼록사각형 $ABCD$에서 대각선 $BD$가 각 $ABC$를 이등분한다고 하자. 삼각형 $ABC$의 외접원이 변 $AD$, $CD$와 다시 만나는 점을 각각 $P$, $Q$라 하자. 점 $D$를 지나고 $AC$에 평행한 직선이 직선 $BC$, $BA$와 만나는 점을 각각 $R$, $S$라 하자. 이때 점 $P$, $Q$, $R$, $S$는 한 원 위에 있음을 보여라.

볼록사각형 $ABCD$의 각 $A$와 $C$의 합이 $180^\circ$보다 작다고 한다. 이때 다음을 증명하라. \[ AB\cdot CD+AD\cdot BC\lt AC(AB+AD).\]

$712!+1$은 소수인가?

다음 식을 만족시키는 서로 다른 유리수 $x$, $y$, $z$가 존재하는가? \[ \frac1{(x-y)^2}+\frac1{(y-z)^2}+\frac1{(z-x)^2}=2014.\]

소수 $p$와 양의 정수 $n$이 있다. 네 수의 순서쌍 $(a_1,a_2,a_3,a_4)$ 중 각 $i=1,2,3,4$에서 $a_i\in \{0,1,\ldots,p^n-1\}$이면서 $a_1a_2+a_3a_4+1$이 $p$의 배수가 되는 것의 수를 구하여라.

서로 소인 양의 정수 $m$, $n$이 있다. 이때 $2^m-2^n$과 $2^{m^2+mn+n^2}-1$의 최대공약수가 될 수 있는 모든 수를 구하여라.

양의 정수의 수열 $a_1,a_2,\ldots$가 모든 $k\ge 2$에 대해 \[ a_{k+1}=\frac{a_k+a_{k-1}}{2015^i}\]를 만족시키는데 여기서 $i$는 $a_k+a_{k-1}$이 $2015^i$의 배수가 될 최대의 $i$값을 택한다. 만일 이 수열이 순환한다면 그 주기는 $3$의 배수가 됨을 보여라.