2015 Baltic Way 팀수학경시대회

4시간 30분. 스톡홀롬.

홈페이지: http://bw15.math.su.se/?page_id=19

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양의 정수 $n\ge 2$이 있다. 정삼각형을 합동인 정삼각형 $n^2$개로 분할하였다. 이 그림에서 나타나는 총 $\frac{(n+1)(n+2)}{2}$개의 점 각각에 실수를 잘 배정하되 어떤 세 점이 이루는 삼각형의 각 변이 큰 정삼각형의 어떤 변과 평행할 때 그 세 점에 배정된 실수의 합이 $0$이 되도록 하고자 한다. 이렇게 할 수 있는 방법을 모두 구하라.

양의 정수 $n$에 대해 $i=1,2,\ldots,n$에 대해 $0\le a_i\le 1$인 실수 $a_1,a_2,\ldots,a_n$이 있다. 이때 다음 부등식을 증명하라. \[ (1-a_1^n)(1-a_2^n)\cdots (1-a_n^n)\le (1-a_1a_2\cdots a_n)^n\]

정수 $n>1$이 있다. 모든 실수 $x$에 대해 \[ P(x) P(x^2) P(x^3)\cdots P(x^n)=P\left( x^{\frac{n(n+1)}{2}}\right)\]이 성립할 상수함수가 아닌 다항식 $P(x)$를 모두 찾아라.

빨강, 파랑, 녹색 이 세가지 색의 옷만 입는 가족이 있다. 이 가족이 사는 집에는 똑같게 생긴 빨래바구니가 각 색깔별로 하나씩 있다. 첫 주에는 모든 빨래바구니가 비어있다. 매주 이 가족에는 10kg의 빨래감이 생긴다. 모든 빨래감은 색깔별로 분류해서 해당되는 빨래바구니에 넣고 그 주의 가장 무거운 빨래바구니 중 하나를 골라 그것만 세탁한다. 무슨 일이 있더라도 모든 빨래바구니가 넘치는 일이 없도록 하려면, 각 빨래바구니의 용량은 최소 몇 kg 이상을 담을 수 있어야 하는가?

모든 실수 $x$, $y$에 대해 \[ |x| f(y)+y f(x)=f(xy)+f(x^2)+f(f(y))\]가 성립하는 모든 함수 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$을 구하여라.

두 명의 선수가 다음과 같은 게임을 한다. 처음에는 게임판 위에 각각 10000개와 20000개의 동전이 쌓인 더미가 둘 있다. 선수들은 자기 차례가 되면 한쪽 더미에서 원하는 만큼의 양의 정수개의 동전을 없애거나, $x+y$가 $2015$의 배수이며 $x>0$, $y>0$일 때, 한쪽 더미에서는 $x$개를, 다른쪽 더미에는 $y$개의 동전을 없애는 작업을 하여야 하며, 더 이상 작업을 할 수 없는 선수가 진다. 첫번째 선수와 두번째 선수 중 어느 선수가 필승 전략이 있는가?

100명의 회원이 있는 단체가 있다. 각각의 회원이 정확히 56명의 다른 회원과 함께 따로 차를 마셔본 적이 있다고 한다. 회원 중 50명으로 구성된 이 단체의 이사회에 속한 이사들끼리는 서로 차를 따로 마셔본 적이 있다고 한다. 이때 전체 회원을 두 그룹으로 잘 나누면 각 그룹 내에서는 임의의 두 회원이 서로 차를 마셔본 적이 있도록 할 수 있음을 보여라.

동서 방향과 남북 방향의 길로 구성된 뉴욕시의 거리에 영감을 받아 평면 위의 두 점 $(a,b)$, $(c,d)$ 사이의 맨하탄 거리를 \[ |a-c|+|b-d|\]로 정의하자. 평면 위의 어떤 점의 집합에서 얻을 수 있는 서로 다른 두 점 사이의 맨하탄 거리가 정확히 두 값 밖에 없었다고 한다. 이 집합이 가질 수 있는 점의 수의 최댓값은 얼마인가?

$2$보다 큰 정수 $n$이 있다. 카드 한 벌에 \[ 1, 2, 3, \ldots, \frac{n(n-1)}{2}\]가 적힌 총 $\frac{n(n-1)}{2}$개의 카드가 있다. 연속한 수가 적힌 두 장의 카드나 $1$, $\frac{n(n-1)}{2}$가 적힌 두 장의 카드는 마법쌍이라 부른다. 전체 카드를 $n$개의 모듬으로 잘 나누었더니 임의의 서로 다른 두 모임 사이에서 만들어지는 마법쌍은 정확히 하나씩밖에 없었다고 할때 가능한 $n$을 모두 구하여라.

집합 $\{1,2,\ldots,n\}$의 부분집합 $S$에서 모든 원소 $a\in S$에 대해 $\frac{a+b}{2}\in S$가 될 $a$와 다른 $S$의 원소 $b$가 존재한다면 그 집합 $S$를 균형잡힌 집합이라 하자.

(a) 정수 $k>1$에 대해  $n=2^k$라 하자. 이때 $|S|>\frac{3n}{4}$인 $\{1,2,\ldots,k\}$의 임의의 부분집합 $S$는 균형잡힌 집합임을 보여라.

(b) $n=2^k$이며 $|S|>\frac{2n}{3}$인 $\{1,2,\ldots,n\}$의 부분집합 $S$가 모두 균형잡힌 부분집합이 될 정수 $k>1$가 존재하는가?

평행사변형 $ABCD$의 두 대각선이 만나는 점을 $E$라 하자. 각 $DAC$와 $EBC$의 각이등분선이 만나는 점을 $F$라 하자. 사각형 $ECFD$가 평행사변형인 경우, $AB$와 $AD$의 비 $AB:AD$를 구하여라.

삼각형 $ABC$의 꼭짓점  $B$를 지나는 원이 변 $AB$, $BC$와 각각 점 $K$, $L$에서 만나며 변 $AC$의 중점 $M$에서 접한다. 점 $K$를 포함하지 않는 원호 $BL$ 위에 $\angle LKN=\angle ACB$가 되는 점 $N$이 있다. 삼각형 $CKN$이 정삼각형이라고 할 때, $\angle BAC$를 구하여라.

변 $AB$의 길이가 $1$인 삼각형 $ABC$의 꼭짓점 $B$에서 변 $AB$로 내린 수선의 발을 $D$라 하자. 삼각형 $BCD$의 내심과 무게중심이 같다고 할 때, 변 $AC$와 $BC$의 길이를 구하여라.

이등변 삼각형이 아닌 삼각형 $ABC$의 $A$에서 변 $BC$로 내린 수선의 발을 $D$라 하자. 변 $BC$의 중점을 $M$, $M$을 $D$에 대칭시켜 얻은 점을 $N$이라 하자. 삼각형 $AMN$의 외접원이 변 $AB$, $AC$와 만나는 $A$ 아닌 점을 각각 $P$, $Q$라 하자. 이때 직선 $AN$, $BQ$, $CP$는 한 점에서 만남을 보여라.

삼각형 $ABC$의 각 $BAC$의 내각, 외각의 이등분선이 직선 $BC$와 만나는 점을 각각 $D$, $E$라 하자. 직선 $AD$와 삼각형 $ABC$의 외접원이 만나는 $A$ 아닌 점을 $F$라 하자. 삼각형 $ABC$의 외심을 $O$라 하고, 점 $D$를 점 $O$에 대칭시켜 얻은 점을 $D’$라 하자. 이때 $\angle D’FE=90^\circ$임을 보여라.

정수 $n$의 가장 큰 소수인 약수를 $P(n)$이라 하자. 이때 \[P(n)+\lfloor \sqrt{n}\rfloor = P(n+1)+\lfloor \sqrt{n+1}\rfloor\]인 양의 정수 $n\ge2$를 모두 구하여라. (단, $\lfloor x\rfloor$은 $x$보다 크지 않은 가장 큰 정수)

$n^{n-1}-1$이 $2^{2015}$의 배수이면서 $2^{2016}$의 배수가 아니게 될 모든 양의 정수 $n$을 구하여라.

$n\ge 1$개의 (서로 같을 수도 있는) 정수해를 갖는 $n$차 다항식 $f(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0$이 있다. 이때 모든 $i=0,1,\ldots,n-1$에 대해 다항식의 계수 $a_i>1$가 어떤 소수 $p_i$의 거듭제곱이며  $p_0$, $p_1$, $\ldots$, $p_{n-1}$은 서로 다르다고 한다. 이때 가능한 모든 $n$값을 구하여라.

서로 다른 세 양의 정수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $\gcd(a,b,c)=1$이면서 $(b-c)^2$은 $a$의 배수이고, $(c-a)^2$은 $b$의 배수이며, $(a-b)^2$은 $c$의 배수라고 한다. 이때 세 변의 길이가 $a$, $b$, $c$로 이루어진 (내부가 있는) 삼각형은 존재하지 않음을 보여라.

정수 $n\ge 2$에 대해, 다음 성질을 만족하는 양의 정수 $m$의 수를 $A_n$이라 하자: $n$과 가장 가까운 $m$의 배수와 $n$ 사이의 거리가 $n^3$과 가장 가장 가까운 $m$의 배수와 $n^3$ 사이의 거리가 같다.

$A_n$이 홀수인 모든 정수 $n\ge 2$를 구하라. (두 정수 $a$, $b$ 사이의 거리는 $|a-b|$로 정의한다.)

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