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핀란드 Oulu. 2016년 11월 5일. 4시간 30분.
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다음 식 \[ p^3-q^5=(p+q)^2\]을 만족시키는 소수의 순서쌍 $(p,q)$를 모두 구하여라.
다음 명제들이 맞으면 증명하고 아니면 반증하라.
a) 임의의 $k\ge 2$에 대해 $k$개의 연속한 양의 정수의 수열에는 $k$보다 작은 소수로 나누어 떨어지지 않는 수가 있다.
b) 임의의 $k\ge 2$에 대해 $k$개의 연속한 양의 정수의 수열에는 그 수열의 다른 모든 수와 서로소인 수가 존재한다.
어떤 정수 $n=1,2,\ldots,6$에 대해 \[ a^n+b^n=c^n+n\]이 정수해를 가지는가?
양의 정수 $n$과 네 정수 $a$, $b$, $c$, $d$가 있다. 만일 $a+b+c+d$와 $a^2+b^2+c^2+d^2$이 모두 $n$의 배수인 경우, $a^4+b^4+c^4+d^4+4abcd$ 역시 $n$의 배수임을 보여라.
$4$로 나누어 $3$이 남는 소수 $p$($>3$)가 있다. 정수의 수열 $a_0,a_1,\ldots$에서 첫 항 $a_0$는 양의 정수이고 모든 $n=1,2,\ldots$에 대해 $a_n=a_{n-1}^{2^n}$이라고 한다. 이때, 임의의 양의 정수 $N$에 대해 $a_N,a_{N+1},a_{N+2},\ldots$ 각각을 $p$로 나눈 나머지가 상수값이 되지 않도록 $a_0$를 고를 수 있음을 보여라.
집합 $\{1,2,\ldots,10\}$을 세 부분집합 $A$, $B$, $C$로 분할하였다. 각 부분집합의 원소의 합, 원소의 곱, 원소의 자리수들의 합을 구하였다고 한다. $A$만 원소의 합이 셋 중 최대이고, $B$만 원소의 곱이 셋 중 최대이며, $C$만 원소의 자리수의 합이 셋 중 최대가 되는 것이 가능한가?
모든 실수 $x$에 대해 \[ 3x^n + n(x+2)-3\ge nx^2\]이 되는 양의 정수 $n$을 모두 구하여라.
모든 실수 $x$에 대해 다음 두 조건을 만족시키는 상수함수가 아닌 함수 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$이 존재한다고 한다.
(i) $f(ax)=a^2 f(x)$
(ii) $f(f(x))=af(x)$
가능한 실수 $a$ 값을 모두 구하여라.
다음 네 식을 동시에 만족시키는 실수의 순서쌍 $(a,b,c,d)$를 모두 구하라. \begin{align*} a^3+c^3&=2\\ a^2b+c^2d&=0\\b^3+d^3&=1\\ ab^2+cd^2&=-6\end{align*}
양의 실수 $a_{0,1},a_{0,2},\ldots,a_{0,2016}$이 있다. 모든 $n\ge 0$, $1\le k\le 2016$에 대해 \[ a_{n+1,k}=a_{n,k}+\frac{1}{2a_{n,k+1}}, \quad a_{n+1,2016}=a_{n,2016}+\frac1{2a_{n,1}}\]이라 하자. 이때 $\displaystyle\max_{1\le k\le 2016} a_{2016,k}>44$임을 보여라.
모든 소인수가 30보다 적은 양의 정수 2016개의 집합 $A$가 있다. 이때 $abcd$가 완전제곱수가 되는 서로 다른 4개의 수 $a$, $b$, $c$, $d$가 집합 $A$에 존재함을 보여라.
변의 길이를 길이가 작은 것부터 써보면 1, 2, 3, 4, 5, 6이 되는 (볼록이 아닐 수도 있는) 6각형 중,
a) 한 변의 길이가 1인 정삼각형 31개로 분할할 수 있는 것이 있는가?
b) 한 변의 길이가 1인 정삼각형 32개로 분할할 수 있는 것이 있는가?
칠판에 $1$이 $n$개 적혀있다. 매번 적당한 두 수를 골라 그 두 수를 지우고 대신 그 두 수의 합을 두 번 적는 작업을 한다. 우연히도 $h$번 작업을 하고 났더니 모든 $n$개의 수가 다 $m$이 되었다고 한다. 이때, $h\le \frac12 n \log_2 m$임을 보여라.
변의 길이가 1인 정육면체 모양의 상자 $4^3$개를 쌓아서 만들어진 정육면체가 있다. 각 상자 안에 정수가 들어있다. 매번 한 상자를 골라서 그 상자에 면을 맞대고 있는 이웃 상자에 들어있는 정수들을 모두 1증가시키는 시행을 생각하자. 처음 시작할 때 어떤 정수들이 들어있는지와 무관하게 시행을 반복하여 모든 상자에 들어있는 값이 $3$의 배수가 되도록 할 수 있는가?
발틱해에는 2016개의 항구가 있다. 두 항구 사이에는 양방향으로 여객선이 다닌다. 서로 다른 항구 $C_1$, $\ldots$, $C_{1062}$에 대해 직통편 항해를 통해 $C_1-C_2-\cdots -C_{1062}$ 순서로 다니는 것이 불가능하다고 한다. 이때 $A$의 어느 항구에서도 $B$의 어느 항구로 직통편 항해가 없는 서로 다른 477개의 항구의 집합 $A$, $B$이 존재함을 보여라.
삼각형 $ABC$에서 각 $C$, $B$의 내각이등분선이 변 $AB$, $AC$와 만나는 점을 각각 $D$, $E$라 하자. 변 $AB$, $AC$를 $B$, $C$를 넘어 연장한 반직선 위에 점 $F$, $G$가 $BF=CG=BC$를 만족하도록 있다고 한다. 이때, 직선 $FG$와 $DE$는 평행함을 보여라.
볼록사각형 $ABCD$의 두 변 $AB$와 $AD$의 길이가 같다. 대각선 $AC$ 위의 점 $T$가 $\angle ABT+\angle ADT=\angle BCD$를 만족시킨다고 할 때, $AT+AC\ge AB+AD$임을 보여라.
평행사변형 $ABCD$가 $\angle BAD=60^\circ$라 한다. 변 $BC$, $CD$의 중점을 각각 $K$, $L$이라 하자. 사각형 $ABKL$이 원에 내접할 때, $\angle ABD$를 구하라.
각 꼭지점의 좌표가 모두 정수인 평면 위의 삼각형들을 생각하자. 그러한 삼각형의 한 꼭지점을 그 꼭지점을 포함하지 않는 변과 평행한 직선을 따라 이동하여 다른 정수 좌표인 점으로 이동시키는 작업을 합법적인 변환이라고 하자. 두 삼각형의 넓이가 같으면 합법적인 이동을 여러번 하여 한 삼각형을 다른 삼각형으로 변환시킬 수 있음을 보여라.
두 변 $AB$와 $CD$가 서로 평행하지 않는 원에 내접하는 사각형 $ABCD$가 있다. 변 $CD$의 중점을 $M$이라 하고, $ABCD$ 내부의 점 $P$가 $PA=PB=CM$을 만족시킨다고 하자. 이때, 선분 $MP$의 수직이등분선과 직선 $AB$, $CD$는 한 점에서 만난다는 것을 증명하라.